Мисал жаз ушул формулага
Сүрөттөгү \(x_{1,2}=\frac{16\pm8}{2}\) жазылышына туура келген мисал — квадраттык теңдеме:
\[ x^2-16x+48=0. \]
Мында \(a=1,\ b=-16,\ c=48\).
\[ D=b^2-4ac=(-16)^2-4\cdot1\cdot48 =256-192=64. \]
\[ \sqrt D=\sqrt{64}=8. \]
Квадраттык теңдеменин тамырларынын формуласы:
\[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}. \]
Формулага коёбуз:
\[ x_{1,2}=\frac{16\pm8}{2}. \]
Демек:
\[ x_1=\frac{16+8}{2}=12,\qquad x_2=\frac{16-8}{2}=4. \]
Текшерүү: \(12+4=16\), \(12\cdot4=48\) — Виет формуласы боюнча да туура.
Негизги принцип: теңдемени \(ax^2+bx+c=0\) түрүнө келтирип, \(a,b,c\) белгилерин туура алып, дискриминантты эсептөө керек. \(D>0\) болсо эки тамыр, \(D=0\) болсо бир тамыр, \(D<0\) болсо чыныгы тамыр жок.
Обсуждение
4 сообщенияДелай по физике
Физикалык мисал (движение): тело брошено вертикально вверх со скоростью \(v_0=80\) м/с. Когда оно окажется на высоте \(h=240\) м? Ответ: \(t=4\) с (при подъёме) и \(t=12\) с (при спуске).
Как получается та же формула
Ось \(y\) направлена вверх, начало — у земли. Тогда
\[ h=v_0t-\frac{gt^2}{2},\qquad g=10\ \text{м/с}^2 . \]
Подставляем \(v_0=80\), \(h=240\):
\[ 240=80t-5t^2 \;\Longrightarrow\; 5t^2-80t+240=0 . \]
Делим на 5 (как в математике — приводим к виду \(t^2+bt+c=0\)):
\[ t^2-16t+48=0 . \]
Дискриминант:
\[ D=(-16)^2-4\cdot 1\cdot 48=256-192=64,\qquad \sqrt D=8 . \]
Формула корней:
\[ t_{1,2}=\frac{16\pm 8}{2}\quad\Rightarrow\quad t_1=12\ \text{с},\ \ t_2=4\ \text{с}. \]
Смысл корней
- \(t=4\) с — тело проходит высоту 240 м, поднимаясь;
- \(t=12\) с — та же высота, но уже при падении.
Проверка: \(t=4\): \(80\cdot4-5\cdot16=320-80=240\) м ✓; \(t=12\): \(960-720=240\) м ✓. Максимум высоты достигается посередине: \(t=8\) с, \(h_{\max}=320\) м.
Принцип для похожих задач по физике
- Запиши закон движения \(h=v_0t-\dfrac{gt^2}{2}\) (или \(s=s_0+v_0t+\dfrac{at^2}{2}\)).
- Приведи к виду \(at^2+bt+c=0\).
- Найди \(D\) и корни по \(t_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt D}{2a}\).
- Отбрось корни, не имеющие физического смысла (\(t<0\), время после остановки и т. п.), и истолкуй оставшиеся: обычно два корня — это «туда» и «обратно».
Решай ну так
Понял: оформляю как в тетради — «Дано — Решение — Ответ». Беру ту же задачу: \(v_0=80\) м/с, \(h=240\) м, \(g=10\) м/с².
Дано: \[ v_0=80\ \text{м/с},\quad h=240\ \text{м},\quad g=10\ \text{м/с}^2 \] Найти: \(t\) — ?
Решение:
Ось \(Oy\) направлена вверх, поэтому в формулах берём знак «−»: \[ v=v_0-gt,\qquad h=v_0t-\frac{gt^2}{2}. \]
Подставляем: \[ 240=80t-\frac{10t^2}{2} \] \[ 240=80t-5t^2 \] \[ 5t^2-80t+240=0 \quad |:5 \] \[ t^2-16t+48=0 \] \[ D=(-16)^2-4\cdot1\cdot48=256-192=64,\qquad \sqrt D=8 \] \[ t_{1,2}=\frac{16\pm8}{2} \] \[ t_1=12\ \text{с},\qquad t_2=4\ \text{с}. \]
Проверка по формуле скорости: \[ t=4:\quad v=80-10\cdot4=40\ \text{м/с (вверх)} \] \[ t=12:\quad v=80-10\cdot12=-40\ \text{м/с (вниз)} \]
Минус означает, что тело уже движется вниз.
Ответ: \(t=4\) с — при подъёме; \(t=12\) с — при спуске.
Твой пример в тетради решён верно: \[ v=30-10\cdot2=10\ \text{м/с}, \] \[ h=30\cdot2-\frac{10\cdot2^2}{2}=60-20=40\ \text{м}. \]
Правило знаков: если ось \(Oy\) вверх — пишем \(v=v_0-gt\), \(h=v_0t-\frac{gt^2}{2}\); если ось вниз — \(v=v_0+gt\), \(h=v_0t+\frac{gt^2}{2}\).
Пришли условие нового задания — оформлю так же.
