Сделай номер 981

Пришли условие № 986 (фото или текст) — без него я не смогу правильно записать «Дано» и раскрыто решить задачу.

№ 986

Дано:
Равнобедренная трапеция \(ABCD\), \(AD\parallel BC\), \(AB=CD=48\) см.
Средняя линия \(MN\) (\(M\in AB\), \(N\in CD\)) пересекается диагональю \(AC\) в точке \(P\).
\(MP=11\) см, \(PN=35\) см.
Найти: углы трапеции.

Рисунок (схема):

      B ________ C
       /        \
      /          \
   M /---P--------\ N
    /       \      \
   /         \      \
  A ----------\------ D

\(MN\) — средняя линия, \(AC\) — диагональ, \(P=AC\cap MN\).

Решение:

1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям: \(MN\parallel AD\), \(MN\parallel BC\).
2. В треугольнике \(ABC\): \(M\) — середина \(AB\), \(MP\parallel BC\), значит \(MP\) — средняя линия \(\triangle ABC\). Поэтому \[ MP=\frac{BC}{2}. \]
3. В треугольнике \(ACD\): \(N\) — середина \(CD\), \(PN\parallel AD\), значит \(PN\) — средняя линия \(\triangle ACD\). Поэтому \[ PN=\frac{AD}{2}. \]
4. По условию \(MP=11\), \(PN=35\). Тогда \[ BC=2\cdot 11=22\text{ см},\qquad AD=2\cdot 35=70\text{ см}. \] (Можно взять и наоборот — от перестановки оснований углы не изменятся; большее основание всё равно \(70\) см.)
5. Проведём высоты \(BK\) и \(CL\) на основание \(AD\). В равнобедренной трапеции \[ AK=LD=\frac{AD-BC}{2}=\frac{70-22}{2}=24\text{ см}. \]
6. В прямоугольном \(\triangle ABK\): \[ \cos\angle A=\frac{AK}{AB}=\frac{24}{48}=\frac12, \] значит \[ \angle A=60^\circ. \]
7. Углы при основании равнобедренной трапеции равны: \[ \angle A=\angle D=60^\circ. \] Углы при верхнем основании: \[ \angle B=\angle C=180^\circ-60^\circ=120^\circ. \]

Ответ: \(60^\circ,\ 60^\circ,\ 120^\circ,\ 120^\circ\).