Реши задание на изображении
Краткий ответ: \[ x\in(0;1)\cup\{4\}\cup(32;+\infty). \]
Считаем, что \(\log_2^2x=(\log_2x)^2\), а числитель записан как \(\log_2(32x)-1\).
Решение
1. ОДЗ.
Логарифм определён при \(x>0\). Кроме того, знаменатель не равен нулю:
\[
\log_2^2x-\log_2x^5\ne0.
\]
2. Замена.
Пусть
\[
t=\log_2x.
\]
Тогда
\[
\log_2(32x)-1=\log_232+\log_2x-1=5+t-1=t+4,
\]
\[
\log_2x^5=5\log_2x=5t,
\]
\[
\log_2^2x=t^2.
\]
Получаем:
\[
\frac{t+4}{t^2-5t}\ge-1.
\]
То есть
\[
\frac{t+4}{t(t-5)}\ge-1.
\]
3. Приводим к одной дроби.
Нельзя просто умножать на знаменатель: он может быть отрицательным. Поэтому прибавим \(1\):
\[
\frac{t+4}{t(t-5)}+1\ge0,
\]
\[
\frac{t+4+t(t-5)}{t(t-5)}\ge0,
\]
\[
\frac{t^2-4t+4}{t(t-5)}\ge0,
\]
\[
\frac{(t-2)^2}{t(t-5)}\ge0.
\]
4. Метод интервалов.
Числитель \((t-2)^2\) всегда неотрицателен и равен нулю при \(t=2\).
Знаменатель обращается в нуль при \(t=0\) и \(t=5\), эти значения недопустимы.
При \(t\ne2\) дробь неотрицательна, когда знаменатель положителен: \[ t(t-5)>0. \] Отсюда \[ t<0 \quad \text{или} \quad t>5. \] Отдельно проверяем \(t=2\): числитель равен \(0\), знаменатель не равен \(0\), значит, неравенство выполняется: \[ 0\ge0. \] Поэтому \[ t\in(-\infty;0)\cup\{2\}\cup(5;+\infty). \]
5. Возвращаемся к \(x\).
Так как \(t=\log_2x\):
\(t<0\): \[ \log_2x<0 \iff 0<x<1; \]
\(t=2\): \[ \log_2x=2 \iff x=4; \]
\(t>5\): \[ \log_2x>5 \iff x>32. \]
Ответ
\[ \boxed{x\in(0;1)\cup\{4\}\cup(32;+\infty)} \]
Проверка: при \(x=4\) левая часть равна \(-1\), то есть равенство действительно достигается. При \(x=2\) получается \(-1{,}25<-1\), поэтому эта точка в ответ не входит.
Обсуждение
2 сообщенияА почему t меньше 0, а не больше?
Потому что после приведения к одной дроби знак определяется знаменателем, а он положителен не при всех \(t>0\):
\[ \frac{(t-2)^2}{t(t-5)}\ge 0. \]
Числитель \((t-2)^2\) всегда неотрицателен. Значит, при \(t\ne2\) дробь неотрицательна, только если
\[ t(t-5)>0. \]
Решаем это неравенство методом интервалов:
- \(t<0\): оба множителя отрицательны, произведение положительно;
- \(0<t<5\): множители разных знаков, произведение отрицательно;
- \(t>5\): оба множителя положительны, произведение положительно.
Например, при \(t=1\):
\[ \frac{(1-2)^2}{1(1-5)}=\frac{1}{-4}<0, \]
то есть \(t=1\) не подходит. Поэтому условие \(t>0\) само по себе ничего не даёт: важно, чтобы знаменатель был именно положительным, а это происходит при \(t<0\) или \(t>5\).
Отдельно \(t=2\) подходит, потому что тогда вся дробь равна \(0\), а неравенство нестрогое:
\[ t\in(-\infty;0)\cup\{2\}\cup(5;+\infty). \]
После возврата к \(x\) это и даёт:
\[ \boxed{x\in(0;1)\cup\{4\}\cup(32;+\infty)}. \]
