1437-1445 решить

Краткие ответы

№	а)	б)	в)	г)
1437	\(8\)	\(23\)	\(1{,}3\)	\(7\)
1438	\(36\)	\(28\)	\(\frac59\)	\(\frac{49}{2}\)
1439	\(\frac{4}{169}\)	\(2\)	\(\frac{25}{4}\)	\(\frac{\sqrt{10}}2\)
1440	\(9\)	\(\frac18\)	\(16\)	\(\frac19\)
1441	\(10\)	\(0{,}01\)	\(1000\)	\(0{,}0001\)
1442	\(3\)	\(0{,}09\)	\(2\)	\(0{,}125\)
1443	\(\frac12\)	\(4\)	\(\frac1{16}\)	\(1000\)
1444	\(2\)	\(3\)	\(7\)	\(5\)
1445	\(x=\log_2 9\)	\(x=\log_{12}7\)	\(x=-\log_3 4\)	\(x=-1\)

В № 1444 неизвестное стоит в основании логарифма: запись вида \(\log_x b=c\).

Как решать

1. Выражения 1437–1440

Главное тождество:

\[ a^{\log_a b}=b \]

Отсюда:

\[ a^{m+\log_a b}=a^m\cdot b \]

\[ a^{\log_a b-m}=\frac{b}{a^m} \]

\[ a^{m\log_a b}=b^m \]

Например:

\[ 1438\text{а)}:\quad 2^{2+\log_2 9}=2^2\cdot 2^{\log_2 9}=4\cdot 9=36 \]

\[ 1439\text{г)}:\quad 10^{\lg 5-0{,}5} =\frac{10^{\lg 5}}{10^{0{,}5}} =\frac5{\sqrt{10}} =\frac{\sqrt{10}}2 \]

\[ 1440\text{а)}:\quad 8^{2\log_8 3} =\left(8^{\log_8 3}\right)^2 =3^2=9 \]

2. Уравнения 1441–1444

По определению логарифма:

\[ \log_a y=c \iff y=a^c \]

Если неизвестное в основании:

\[ \log_x b=c \iff x^c=b \]

причём \(x>0\), \(x\ne1\).

Например:

\[ 1442\text{б)}:\quad x=0{,}027^{\frac23} =(0{,}3^3)^{\frac23} =0{,}3^2=0{,}09 \]

\[ 1443\text{б)}:\quad x=0{,}125^{-\frac23} =\left(\frac18\right)^{-\frac23} =8^{\frac23}=4 \]

\[ 1444\text{а)}:\quad \log_x4=2 \Rightarrow x^2=4 \Rightarrow x=2 \]

3. Показательные уравнения 1445

Используем:

\[ a^x=b \iff x=\log_a b \]

Например:

\[ 1445\text{г)}:\quad 0{,}2^x=5 \]

\[ 0{,}2=\frac15,\quad \left(\frac15\right)^x=5 \]

\[ 5^{-x}=5^1 \Rightarrow -x=1 \Rightarrow x=-1 \]

Для проверки: \(0{,}2^{-1}=5\), всё верно.