Реши задание на изображении
Кратко:
- а) \(y=3{,}25\); б) \(x=4\pm\sqrt5\); в) нули \(x=4\pm\sqrt3\), \(y>0\) вне корней, \(y<0\) между ними; г) убывает при \(x\le4\).
- Наибольшее значение: \(5\).
- Область значений: \([-11;-2]\).
- Да, пересекаются: \((5;5)\) и \((-20;80)\).
1. Функция \(y=x^2-8x+13\)
Выделим полный квадрат:
\[ y=x^2-8x+13=(x-4)^2-3 \]
Это парабола ветвями вверх. Вершина:
\[ (4;-3) \]
Точки для построения графика:
\[ \begin{array}{c|ccccccccc} x&0&1&2&3&4&5&6&7&8\\ \hline y&13&6&1&-2&-3&-2&1&6&13 \end{array} \]
График — симметричная парабола относительно прямой \(x=4\).
а) \(y\) при \(x=1{,}5\)
\[ y=(1{,}5)^2-8\cdot1{,}5+13=2{,}25-12+13=3{,}25 \]
Ответ: \(3{,}25\).
б) \(x\), при которых \(y=2\)
\[ x^2-8x+13=2 \]
\[ x^2-8x+11=0 \]
\[ x=4\pm\sqrt5 \]
То есть примерно:
\[ x\approx1{,}76;\quad x\approx6{,}24 \]
Ответ: \(x=4\pm\sqrt5\). На графике это две точки пересечения параболы с горизонтальной прямой \(y=2\).
в) Нули функции и промежутки знакопостоянства
Нули — там, где \(y=0\):
\[ x^2-8x+13=0 \]
\[ x=4\pm\sqrt3 \]
Примерно:
\[ x\approx2{,}27;\quad x\approx5{,}73 \]
Так как ветви вверх:
\(y>0\) при
\[ x\in(-\infty;4-\sqrt3)\cup(4+\sqrt3;+\infty) \]\(y<0\) при
\[ x\in(4-\sqrt3;4+\sqrt3) \]
Ответ: нули \(x=4\pm\sqrt3\); выше оси \(Ox\) — вне этого промежутка, ниже — между корнями.
г) Промежуток убывания
Вершина при \(x=4\). Левее вершины парабола убывает:
\[ (-\infty;4] \]
Можно записать и \((-\infty;4)\).
Ответ: функция убывает при \(x\le4\).
2. Наибольшее значение \(y=-x^2+6x-4\)
Выделим полный квадрат:
\[ y=-x^2+6x-4=-(x^2-6x+9)+5=-(x-3)^2+5 \]
Квадрат всегда неотрицателен, поэтому:
\[ -(x-3)^2\le0 \]
Значит,
\[ y\le5 \]
Максимум достигается при \(x=3\):
\[ y_{\max}=5 \]
Ответ: \(5\).
3. Область значений \(y=x^2-4x-7\), где \(x\in[-1;5]\)
\[ y=x^2-4x-7=(x-2)^2-11 \]
Вершина:
\[ (2;-11) \]
Точка \(x=2\) входит в промежуток \([-1;5]\), значит минимум:
\[ y_{\min}=-11 \]
Проверим концы:
\[ y(-1)=1+4-7=-2 \]
\[ y(5)=25-20-7=-2 \]
Значит наибольшее значение на промежутке:
\[ y_{\max}=-2 \]
Ответ: область значений \([-11;-2]\).
4. Пересечение параболы \(y=\frac15x^2\) и прямой \(y=20-3x\)
Приравняем:
\[ \frac15x^2=20-3x \]
Умножим на \(5\):
\[ x^2=100-15x \]
\[ x^2+15x-100=0 \]
Дискриминант:
\[ D=15^2-4\cdot1\cdot(-100)=225+400=625 \]
\[ \sqrt D=25 \]
\[ x=\frac{-15\pm25}{2} \]
Получаем:
\[ x=5 \quad \text{или} \quad x=-20 \]
Найдём \(y\) по уравнению прямой:
\[ x=5:\quad y=20-15=5 \]
\[ x=-20:\quad y=20+60=80 \]
Ответ: да, графики пересекаются в двух точках:
\[ (5;5)\quad\text{и}\quad(-20;80) \]
Главный принцип: для параболы \(y=ax^2+bx+c\) вершина находится по формуле
\[ x_0=-\frac{b}{2a} \]
Если \(a>0\), ветви вверх и в вершине минимум; если \(a<0\) — ветви вниз и в вершине максимум. Пересечения с прямой ищутся приравниванием формул, а область значений на отрезке — сравнением значения в вершине и на концах отрезка.
Обсуждение
2 сообщенияПострой график для номера 1
График функции
\[
y=x^2-8x+13=(x-4)^2-3
\]
— парабола ветвями вверх.
Ключевые точки:
- вершина: \((4;-3)\);
- ось симметрии: \(x=4\);
- нули: \(x=4\pm\sqrt3\approx 2{,}27\) и \(5{,}73\);
- точка пересечения с осью \(Oy\): \((0;13)\), симметричная ей: \((8;13)\).
\[ \begin{array}{c|ccccccccccc} x&0&1&2&4-\sqrt3&3&4&5&4+\sqrt3&6&7&8\\ \hline y&13&6&1&0&-2&-3&-2&0&1&6&13 \end{array} \]
Схематичный график:
y
13 ● ●
12 │
11 │
10 │
9 │
8 │
7 │
6 │ ● ●
5 │
4 │
3 │
2 │
1 │ ● ●
0 ┼───×─────────×───────── x
-1 │
-2 │ ● ●
-3 │ ●
└──────────────────────────
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Точки \(×\) на оси \(Ox\) — корни \(x=4\pm\sqrt3\). Соедини точки плавной линией: получится парабола с вершиной в точке \((4;-3)\), ветви направлены вверх.
