Реши задание на изображении
Краткие ответы
- \(MN=32\)
- Периметр \(\triangle ABC=60\)
- \(BMKN\) — ромб
- \(4\) см
Главный факт: средняя линия треугольника соединяет середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине.
1. Найти \(MN\)
\(M\) и \(N\) — середины \(AB\) и \(BC\), значит, \(MN\) — средняя линия, параллельная \(AC\).
\[ MN=\frac{AC}{2}=\frac{64}{2}=32 \]
Стороны \(AB=20\) и \(BC=58\) здесь не нужны — это «лишние» данные.
Ответ: \(32\).
2. Найти периметр \(\triangle ABC\)
Используем соответствие средних линий и сторон:
\[ MN=\frac{AC}{2}=12 \Rightarrow AC=24 \]
\[ MK=\frac{BC}{2}=10 \Rightarrow BC=20 \]
\[ KN=\frac{AB}{2}=8 \Rightarrow AB=16 \]
Тогда
\[ P_{ABC}=AB+BC+AC=16+20+24=60 \]
Проверка: периметр треугольника из средних линий равен \(12+10+8=30\), а он вдвое меньше периметра \(ABC\): \(60:2=30\). Всё сходится.
Ответ: \(60\).
3. Доказать, что \(BMKN\) — ромб
Пусть сторона равностороннего треугольника равна \(a\).
- \(M\) — середина \(AB\), значит, \(BM=\frac{a}{2}\).
- \(N\) — середина \(BC\), значит, \(BN=\frac{a}{2}\).
- \(MK\) — средняя линия, поэтому \(MK\parallel BC\) и \(MK=\frac{BC}{2}=\frac{a}{2}\).
- \(KN\) — средняя линия, поэтому \(KN\parallel AB\) и \(KN=\frac{AB}{2}=\frac{a}{2}\).
Получаем:
\[ BM=MK=KN=NB=\frac{a}{2} \]
Кроме того, \(MK\parallel BN\) и \(KN\parallel BM\), значит, \(BMKN\) — параллелограмм с равными сторонами.
Следовательно, \(BMKN\) — ромб.
4. Найти среднюю линию
Периметр равностороннего треугольника равен \(24\) см, значит, его сторона:
\[ a=\frac{24}{3}=8 \text{ см} \]
Средняя линия равна половине стороны:
\[ \frac{8}{2}=4 \text{ см} \]
Ответ: \(4\) см.
