Реши задание на изображении
Краткий ответ
\(y=2x^2-4x+5=2(x-1)^2+3\)
Вершина — \((1;3)\), ветви вверх, ось симметрии \(x=1\).
\(D=-24<0\), значит, нулей нет; \(y>0\) при всех \(x\).
Область значений: \([3;+\infty)\). Убывает на \((-\infty;1]\), возрастает на \([1;+\infty)\).
Наименьшее значение \(y_{\min}=3\) при \(x=1\); наибольшего нет.\(y=-3x^2-6x-4=-3(x+1)^2-1\)
Вершина — \((-1;-1)\), ветви вниз, ось \(x=-1\).
\(D=-12<0\), нулей нет; \(y<0\) при всех \(x\).
Область значений: \((-\infty;-1]\). Возрастает на \((-\infty;-1]\), убывает на \([-1;+\infty)\).
Наибольшее значение \(y_{\max}=-1\) при \(x=-1\); наименьшего нет.\(y=-x^2+6x-9=-(x-3)^2\)
Вершина — \((3;0)\), ветви вниз, ось \(x=3\).
\(D=0\), единственный нуль \(x=3\). При \(x\ne3\) имеем \(y<0\), при \(x=3\) — \(y=0\).
Область значений: \((-\infty;0]\). Возрастает на \((-\infty;3]\), убывает на \([3;+\infty)\).
Наибольшее значение \(y_{\max}=0\) при \(x=3\); наименьшего нет.
Как рассуждать
Для функции \(y=ax^2+bx+c\):
\[ x_{\text{верш}}=-\frac{b}{2a},\qquad y_{\text{верш}}=y(x_{\text{верш}}). \]
Удобно выделить полный квадрат:
\[ y=a(x-x_{\text{верш}})^2+y_{\text{верш}}. \]
- если \(a>0\), ветви вверх, функция имеет минимум;
- если \(a<0\), ветви вниз, функция имеет максимум;
- ось симметрии параболы: \(x=x_{\text{верш}}\);
- число нулей определяется дискриминантом: \[ D=b^2-4ac. \] \(D>0\) — две точки пересечения с \(Ox\), \(D=0\) — одна, \(D<0\) — нет.
Точки для построения графиков
| Пункт | Координаты точек |
|---|---|
| 1 | \((-1;11),(0;5),(1;3),(2;5),(3;11)\) |
| 2 | \((-3;-13),(-2;-4),(-1;-1),(0;-4),(1;-13)\) |
| 3 | \((0;-9),(1;-4),(2;-1),(3;0),(4;-1),(5;-4),(6;-9)\) |
Отметьте вершину и эти точки, затем проведите плавную параболу. Точки с одинаковым \(y\) должны быть симметричны относительно вертикальной прямой через вершину.
Проверка
Из выделенного квадрата видно:
- \(2(x-1)^2+3\ge3\) — первый график действительно не пересекает \(Ox\);
- \(-3(x+1)^2-1\le-1\) — второй график целиком ниже оси \(Ox\);
- \(-(x-3)^2\le0\), причём равенство только при \(x=3\), — третий график касается \(Ox\) в точке \((3;0)\).
Обсуждение
3 сообщенияЭто продолжение текущей задачи, а не новое задание: на изображении те же три функции, которые уже разобраны выше:
- \(y=2x^2-4x+5\)
- \(y=-3x^2-6x-4\)
- \(y=-x^2+6x-9\)
Задание — построить их графики и описать свойства; вершины, нули, промежутки возрастания/убывания, область значений и точки для построения уже указаны в предыдущем ответе. Повторно решать не нужно.
построй сами графики
