Реши задание на изображении

Кратко:

1. \(\sin\alpha=-\dfrac{\sqrt{21}}5\approx -0{,}917\) — для указанной IV четверти.
2. \(\operatorname{ctg}\alpha=\dfrac1{2\sqrt6}=\dfrac{\sqrt6}{12}\approx0{,}204\).

1) Как найти \(\sin\alpha\)

Используем основное тригонометрическое тождество: \[ \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1. \] Отсюда \[ \sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha =1-(-0{,}4)^2 =1-0{,}16 =0{,}84 =\frac{21}{25}. \] Значит, \[ |\sin\alpha|=\frac{\sqrt{21}}5. \]

Остаётся определить знак: на промежутке \[ \frac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi \] угол находится в IV четверти, где синус отрицателен. Поэтому \[ \boxed{\sin\alpha=-\frac{\sqrt{21}}5}. \]

Важная оговорка: в IV четверти косинус положителен, поэтому запись \(\cos\alpha=-0{,}4\) с этим промежутком формально противоречива. Скорее всего, это описка в знаке косинуса; на вычисление модуля синуса это не влияет.

2) Как найти \(\operatorname{ctg}\alpha\)

Угол \(0<\alpha<\frac{\pi}{2}\) — это I четверть, там все функции положительны.

Сначала найдём синус: \[ \sin\alpha=+\sqrt{1-\cos^2\alpha} =\sqrt{1-0{,}2^2} =\sqrt{1-\frac1{25}} =\sqrt{\frac{24}{25}} =\frac{2\sqrt6}{5}. \]

Теперь по определению: \[ \operatorname{ctg}\alpha =\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} =\frac{\frac15}{\frac{2\sqrt6}{5}} =\frac1{2\sqrt6} =\frac{\sqrt6}{12}. \]

\[ \boxed{\operatorname{ctg}\alpha=\frac{\sqrt6}{12}\approx0{,}204} \]

Проверка:

1. \(\left(-\frac{\sqrt{21}}5\right)^2+(-0{,}4)^2=\frac{21}{25}+\frac4{25}=1\).
2. \(\sin\alpha\cdot\operatorname{ctg}\alpha=\frac{2\sqrt6}{5}\cdot\frac1{2\sqrt6}=\frac15=0{,}2=\cos\alpha\).