реши не используя метод координат

Обозначим \(A=\angle BAC,\ B=\angle ABC,\ C=\angle ACB\).

а) Доказательство

Так как \(O\) — центр описанной окружности, то
\[ \angle BOC=2A. \] Треугольник \(BOC\) равнобедренный (\(OB=OC\)), поэтому \[ \angle OBC=\angle OCB=\frac{180^\circ-2A}{2}=90^\circ-A. \] По условию \[ A=2(90^\circ-A), \] откуда \[ 3A=180^\circ\quad\Rightarrow\quad A=60^\circ. \] Тогда \[ \angle BOC=2A=120^\circ. \] Для центра вписанной окружности: \[ \angle BIC=90^\circ+\frac A2=90^\circ+30^\circ=120^\circ. \] Значит, \[ \angle BIC=\angle BOC. \] Точки \(O\) и \(I\) лежат по одну сторону от прямой \(BC\), поэтому по обратной теореме о вписанном угле точки \(B,O,I,C\) лежат на одной окружности. Следовательно, \(I\) лежит на окружности, описанной около \(\triangle BOC\).

б) Нахождение \(\angle OIH\)

Так как \[ A=60^\circ,\quad B=55^\circ, \] то \[ C=180^\circ-60^\circ-55^\circ=65^\circ. \]

В треугольнике \(BOC\): \[ \angle OCB=90^\circ-A=30^\circ. \] Из доказанного \(B,O,I,C\) лежат на одной окружности, и углы \(\angle OIB\) и \(\angle OCB\) опираются на хорду \(OB\). Поэтому \[ \angle OIB=30^\circ. \]

Далее, \[ \angle AIB=180^\circ-\frac A2-\frac B2 =180^\circ-30^\circ-27{,}5^\circ =122{,}5^\circ. \] Точка \(O\) лежит внутри угла \(AIB\), поэтому \[ \angle AIO=122{,}5^\circ-30^\circ=92{,}5^\circ. \]

Теперь покажем, что \(O\) и \(H\) симметричны относительно \(AI\).

\[ \angle BAO=90^\circ-C=25^\circ,\qquad \angle BAI=30^\circ, \] значит, \[ \angle IAO=5^\circ. \] Также \[ \angle BAH=90^\circ-B=35^\circ, \] поэтому \[ \angle IAH=35^\circ-30^\circ=5^\circ. \]

Кроме того, \(AH=2R\cos A\). При \(A=60^\circ\): \[ AH=2R\cdot\frac12=R=AO. \] Значит, точки \(O\) и \(H\) симметричны относительно прямой \(AI\). Следовательно, \[ \angle AIH=\angle AIO=92{,}5^\circ. \]

Углы \(\angle AIO\) и \(\angle AIH\) расположены по разные стороны от \(AI\), поэтому \[ \angle OIH=360^\circ-2\cdot92{,}5^\circ =360^\circ-185^\circ =175^\circ. \]

Ответ: б) \(175^\circ\).