Реши задание на изображении
Краткий ответ: \[ \gcd(48,60)=12,\qquad \gcd(120,180)=60,\qquad \gcd(420,990)=30. \]
Как найти НОД
- Раскладываем числа на простые множители.
- Берём только общие простые множители, каждый — в наименьшей степени, с которой он встречается.
- Перемножаем их.
1) 48 и 60 \[ 48=2^4\cdot 3,\qquad 60=2^2\cdot 3\cdot 5. \] Общие множители: \(2\) и \(3\). Меньшие степени: \(2^2\) и \(3\). \[ \gcd(48,60)=2^2\cdot 3=4\cdot 3=12. \] Проверка: \(48:12=4,\quad 60:12=5\).
2) 120 и 180 \[ 120=2^3\cdot 3\cdot 5,\qquad 180=2^2\cdot 3^2\cdot 5. \] \[ \gcd(120,180)=2^2\cdot 3\cdot 5=4\cdot 3\cdot 5=60. \] Проверка: \(120:60=2,\quad 180:60=3\).
3) 420 и 990 \[ 420=2^2\cdot 3\cdot 5\cdot 7,\qquad 990=2\cdot 3^2\cdot 5\cdot 11. \] \[ \gcd(420,990)=2\cdot 3\cdot 5=30. \] Проверка: \(420:30=14,\quad 990:30=33\).
Почему так получается наибольший делитель: любой общий делитель может состоять только из простых множителей, которые есть у обоих чисел, и степень каждого множителя не может быть больше меньшей. Поэтому произведение таких множителей и будет наибольшим.
Обсуждение
4 сообщенияНомер 146
Ответ:
\[
\gcd(72,80,96)=8,\qquad \gcd(210,40,315)=5.
\]
1) 72, 80 и 96
Раскладываем на простые множители: \[ 72=2^3\cdot 3^2, \] \[ 80=2^4\cdot 5, \] \[ 96=2^5\cdot 3. \]
Общий простой множитель у всех трёх чисел — только \(2\). Наименьшая степень \(2\) — это \(2^3\).
\[ \gcd(72,80,96)=2^3=8. \]
Проверка: \[ 72:8=9,\qquad 80:8=10,\qquad 96:8=12. \]
2) 210, 40 и 315
\[ 210=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7, \] \[ 40=2^3\cdot 5, \] \[ 315=3^2\cdot 5\cdot 7. \]
Общий множитель у всех трёх чисел — только \(5\).
\[ \gcd(210,40,315)=5. \]
Проверка: \[ 210:5=42,\qquad 40:5=8,\qquad 315:5=63. \]
Правило: чтобы найти НОД нескольких чисел, нужно выписать простые множители каждого числа, взять те, которые есть у всех чисел, и выбрать наименьшую степень каждого такого множителя.
Номер 147
Ответ: \[ (69\,459+6\,954)-5\,648:8=75\,707. \]
Решение по действиям:
Сначала выполняем действие в скобках: \[ 69\,459+6\,954=76\,413. \]
Затем деление: \[ 5\,648:8=706. \]
Последнее действие — вычитание: \[ 76\,413-706=75\,707. \]
Порядок действий: сначала скобки, затем деление, потом вычитание.
