101 а)

Краткий ответ: вершина параболы — \((2;3)\), ось симметрии — прямая \(x=2\). Ветви направлены вверх, график не пересекает ось \(Ox\).

Как это получить

Для функции \(y=ax^2+bx+c\) координата вершины:

\[ x_0=-\frac{b}{2a} \]

В функции

\[ y=x^2-4x+7 \]

коэффициенты: \(a=1,\ b=-4,\ c=7\). Значит,

\[ x_0=-\frac{-4}{2\cdot1}=2 \]

Подставляем \(x=2\) в формулу:

\[ y_0=2^2-4\cdot2+7=4-8+7=3 \]

То есть вершина:

\[ (2;3) \]

Ось симметрии проходит через вершину вертикально:

\[ x=2 \]

Проверка через выделение квадрата

\[ x^2-4x+7=(x^2-4x+4)+3=(x-2)^2+3 \]

Отсюда видно: наименьшее значение равно \(3\) при \(x=2\), значит, вершина действительно \((2;3)\).

Как схематически построить график

1. Отмечаем вершину \((2;3)\).
2. Проводим пунктиром вертикальную ось симметрии \(x=2\).
3. Так как \(a=1>0\), ветви направлены вверх.
4. Берём симметричные точки:
   • \(x=1:\ y=4\);
   • \(x=3:\ y=4\);
   • \(x=0:\ y=7\);
   • \(x=4:\ y=7\).
5. Соединяем точки плавной параболой с вершиной внизу.

Дискриминант:

\[ D=(-4)^2-4\cdot1\cdot7=16-28=-12<0 \]

поэтому с осью \(Ox\) график не пересекается.