?

Краткий ответ:
\[ t\in\left(-\frac{\pi}{3};\frac{\pi}{2}\right) \] для промежутка \(t\in\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)\).

Без ограничения промежутка: \[ t\in\left(-\frac{\pi}{3}+\pi k;\frac{\pi}{2}+\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z. \]

Как рассуждать

1. На промежутке \(\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)\) функция \(y=\operatorname{tg}t\) строго возрастает. Поэтому чем правее точка \(t\), тем больше значение тангенса.

2. Находим границу: \[ \operatorname{tg}t=-\sqrt3. \] Так как \(\operatorname{tg}\frac{\pi}{3}=\sqrt3\), а тангенс нечётный, \[ t=-\frac{\pi}{3}. \]

3. Значит, \(\operatorname{tg}t>-\sqrt3\), когда \(t>-\frac{\pi}{3}\). Но нужно оставаться внутри заданного промежутка: \[ t\in\left(-\frac{\pi}{3};\frac{\pi}{2}\right). \]

4. Проверка: при \(t=0\) \[ \operatorname{tg}0=0>-\sqrt3, \] то есть точка из ответа действительно подходит.

Концы не включаются: в точке \(-\frac{\pi}{3}\) получается равенство, а при \(t=\frac{\pi}{2}\) тангенс не существует.