153(а)
Краткий ответ:
График функции \(y=\frac13x^2-4x+4\) — парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина находится в точке \((6;-8)\). Ось симметрии — прямая \(x=6\). Точки пересечения с осями: с \(Oy\) — \((0;4)\), с \(Ox\) — примерно \((1{,}1;0)\) и \((10{,}9;0)\) (точно \(x=6\pm2\sqrt6\)). Область значений \([-8;+\infty)\), наименьшее значение \(-8\) при \(x=6\).
Как построить и описать свойства
Определяем вид графика.
Это квадратичная функция вида \(y=ax^2+bx+c\), где \(a=\frac13>0\). Значит, график — парабола, ветви вверх.Находим вершину.
Абсцисса вершины: \[ x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2\cdot\frac13}=6. \] Ордината: \[ y_0=\frac13\cdot6^2-4\cdot6+4=12-24+4=-8. \] Вершина: \((6;-8)\). Прямая \(x=6\) — ось симметрии параболы.Находим точки пересечения с осями.
- С осью \(Oy\): при \(x=0\) получаем \(y=4\), точка \((0;4)\).
- С осью \(Ox\): решаем \(\frac13x^2-4x+4=0\). Умножим на 3: \[ x^2-12x+12=0,\quad D=144-48=96. \] \[ x=\frac{12\pm4\sqrt6}{2}=6\pm2\sqrt6. \] Это примерно \(1{,}1\) и \(10{,}9\).
Берём дополнительные точки для точности.
Из-за симметрии удобно брать точки слева и справа от \(x=6\): \[ x=3:\ y=-5,\qquad x=9:\ y=-5, \] \[ x=0:\ y=4,\qquad x=12:\ y=4. \]Строим график.
Отмечаем вершину \((6;-8)\), точки пересечения с осями и дополнительные точки, проводим плавную кривую — параболу.Описываем свойства.
- Область определения: \(D(y)=(-\infty;+\infty)\).
- Область значений: \(E(y)=[-8;+\infty)\).
- Нули функции: \(x=6-2\sqrt6\) и \(x=6+2\sqrt6\).
- \(y>0\) при \(x<6-2\sqrt6\) или \(x>6+2\sqrt6\);
\(y<0\) при \(6-2\sqrt6<x<6+2\sqrt6\). - Функция убывает на \((-\infty;6]\), возрастает на \([6;+\infty)\).
- Наименьшее значение \(y=-8\) при \(x=6\); наибольшего значения нет.
- Функция не является ни чётной, ни нечётной.
Проверка: подставим \(x=6\) в формулу: \(\frac13\cdot36-24+4=12-24+4=-8\), что совпадает с координатой вершины. Значит, расчёты верны.
Обсуждение
4 сообщенияТаблицу покажи
Таблица значений для \(y=\frac13x^2-4x+4\) с шагом \(1\):
| \(x\) | \(y\) |
|---|---|
| \(-2\) | \(\frac{40}{3}\approx13{,}33\) |
| \(-1\) | \(\frac{25}{3}\approx8{,}33\) |
| \(0\) | \(4\) |
| \(1\) | \(\frac13\approx0{,}33\) |
| \(2\) | \(-\frac83\approx-2{,}67\) |
| \(3\) | \(-5\) |
| \(4\) | \(-\frac{20}{3}\approx-6{,}67\) |
| \(5\) | \(-\frac{23}{3}\approx-7{,}67\) |
| \(6\) | \(-8\) |
| \(7\) | \(-\frac{23}{3}\approx-7{,}67\) |
| \(8\) | \(-\frac{20}{3}\approx-6{,}67\) |
| \(9\) | \(-5\) |
| \(10\) | \(-\frac83\approx-2{,}67\) |
| \(11\) | \(\frac13\approx0{,}33\) |
| \(12\) | \(4\) |
| \(13\) | \(\frac{25}{3}\approx8{,}33\) |
| \(14\) | \(\frac{40}{3}\approx13{,}33\) |
Видно симметрию относительно прямой \(x=6\).
Нули функции:
\[
x=6\pm2\sqrt6\approx1{,}10 \quad\text{и}\quad 10{,}90,
\]
то есть точки пересечения с осью \(Ox\): примерно \((1{,}10;0)\) и \((10{,}90;0)\).
Мне надо таблицу заполнить
Заполняй так — под каждым \(x\) пиши соответствующее \(y\):
| \(x\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | \(\frac13\) | \(-\frac83\) | \(-5\) | \(-\frac{20}{3}\) | \(-\frac{23}{3}\) | \(-8\) | \(-\frac{23}{3}\) | \(-\frac{20}{3}\) | \(-5\) | \(-\frac83\) | \(\frac13\) | \(4\) |
Примерно:
| \(x\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y\approx\) | 0,33 | −2,67 | −5 | −6,67 | −7,67 | −8 | −7,67 | −6,67 | −5 | −2,67 | 0,33 | 4 |
Значение \(y=-8\) при \(x=6\) у тебя уже записано верно — это вершина параболы.
Например, для \(x=4\): \[ y=\frac13\cdot16-4\cdot4+4=\frac{16}{3}-16+4=-\frac{20}{3}\approx-6{,}67. \]
Таблица симметрична относительно \(x=6\): значения при \(x=5\) и \(x=7\), при \(x=4\) и \(x=8\) и т.д. одинаковые.
