Реши задачи методом координат

Краткие ответы

1. \(\arccos\dfrac{5}{\sqrt{39}}\)
2. \(\arccos 0{,}04=\arccos\dfrac1{25}\)
3. \(\arcsin\dfrac{2\sqrt2}{5}\)
4. \(\arctan\dfrac35\)
5. \(\arccos\dfrac13\)
6. \(\arctan\dfrac{5\sqrt3}{6}\)
7. \(\dfrac{\sqrt3}{3}\)
8. \(4{,}8\)
9. \(\sqrt{4209}\)
10. \(18\)

Как это получается методом координат

Общие формулы:

• угол между прямыми с направляющими \(u,v\): \[ \cos\varphi=\frac{|u\cdot v|}{|u||v|}; \]
• угол между прямой \(u\) и плоскостью с нормалью \(n\): \[ \sin\varphi=\frac{|u\cdot n|}{|u||n|}; \]
• угол между плоскостями с нормалями \(n_1,n_2\): \[ \cos\varphi=\frac{|n_1\cdot n_2|}{|n_1||n_2|}. \]

---

1. Куб, \(CE:EC_1=2:1\)

Берём куб с ребром \(1\): \[ A(0,0,0),\quad B(1,0,0),\quad C(1,1,0),\quad A_1(0,0,1),\quad C_1(1,1,1). \] Тогда \[ E=\left(1,1,\frac23\right). \] Векторы: \[ \overrightarrow{BE}=\left(0,1,\frac23\right),\qquad \overrightarrow{AC_1}=(1,1,1). \] \[ \cos\varphi= \frac{\frac53}{\frac{\sqrt{13}}3\cdot\sqrt3} =\frac{5}{\sqrt{39}}. \] Ответ: \[ \boxed{\arccos\frac{5}{\sqrt{39}}}. \]

---

2. Правильная треугольная призма

Основание — правильный треугольник со стороной \(8\), высота \(6\).

Удобно взять: \[ A(0,0,0),\quad B(8,0,0),\quad C(4,4\sqrt3,0), \] \[ A_1(0,0,6),\quad B_1(8,0,6). \] Направляющие: \[ \overrightarrow{CA_1}=(-4,-4\sqrt3,6),\qquad \overrightarrow{AB_1}=(8,0,6). \] Скалярное произведение: \[ (-4)\cdot8+0+6\cdot6=4. \] Длины обоих векторов равны \(10\). Поэтому \[ \cos\varphi=\frac4{100}=0{,}04. \] Ответ: \[ \boxed{\arccos 0{,}04}. \]

---

3. Прямоугольный параллелепипед

\[ A(0,0,0),\quad B(4,0,0),\quad C(4,4,0),\quad A_1(0,0,3). \]

Плоскость \(AA_1C\) имеет нормаль \[ n=(1,-1,0). \] Прямая \(A_1B\) имеет направляющий вектор \[ u=(4,0,-3). \] Тогда \[ \sin\varphi= \frac{|u\cdot n|}{|u||n|} = \frac4{5\sqrt2} = \frac{2\sqrt2}{5}. \] Ответ: \[ \boxed{\arcsin\frac{2\sqrt2}{5}}. \]

---

4. Призма с равнобедренным основанием

\[ AB=AC=5,\quad BC=8. \] Высота равнобедренного треугольника: \[ h=\sqrt{5^2-4^2}=3. \] Координаты: \[ B(0,0,0),\quad C(8,0,0),\quad A(4,3,0),\quad A_1(4,3,3). \] Плоскость \(BCC_1\) — это плоскость \(y=0\), её нормаль \[ n=(0,1,0). \] Прямая \(A_1B\): \[ u=(-4,-3,-3). \] Тогда \[ \sin\varphi=\frac3{\sqrt{34}}. \] Так как \(\cos\varphi=\frac5{\sqrt{34}}\), получаем \[ \tan\varphi=\frac35. \] Ответ: \[ \boxed{\arctan\frac35}. \]

---

5. Угол между плоскостями в кубе

Куб с ребром \(1\). Нормали:

к плоскости \(AB_1D_1\): \[ n_1=(-1,-1,1), \] к плоскости \(ACD_1\): \[ n_2=(1,-1,1). \] Скалярное произведение: \[ n_1\cdot n_2=1. \] Длины обеих нормалей равны \(\sqrt3\). Поэтому \[ \cos\varphi=\frac1{3}. \] Ответ: \[ \boxed{\arccos\frac13}. \]

---

6. Ромб в основании

Плоскость \(ABD\) — это плоскость основания, её нормаль \[ n_2=(0,0,1). \] Координаты: \[ A(0,0,0),\quad B(4,0,0),\quad D(2,2\sqrt3,0),\quad C(6,2\sqrt3,0), \] \[ C_1(6,2\sqrt3,5). \] Нормаль к плоскости \(AC_1B\): \[ n_1=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC_1} =(0,-20,8\sqrt3). \] Тогда \[ \cos\varphi= \frac{8\sqrt3}{\sqrt{20^2+(8\sqrt3)^2}} = \frac{2\sqrt3}{\sqrt{37}}. \] Отсюда \[ \tan\varphi=\frac{5}{2\sqrt3} =\frac{5\sqrt3}{6}. \] Ответ: \[ \boxed{\arctan\frac{5\sqrt3}{6}}. \]

---

7. Расстояние от \(B\) до плоскости \(ACD_1\)

Куб с ребром \(1\): \[ A(0,0,0),\quad C(1,1,0),\quad D_1(0,1,1). \] Уравнение плоскости \(ACD_1\): \[ x-y+z=0. \] Точка \(B(1,0,0)\). Расстояние: \[ d=\frac{|1-0+0|}{\sqrt{1^2+(-1)^2+1^2}} =\frac1{\sqrt3} =\frac{\sqrt3}{3}. \] Ответ: \[ \boxed{\frac{\sqrt3}{3}}. \]

---

8. Ромб \(AB=10,\ BD=12\), высота \(6\)

Пусть центр ромба — начало координат, диагонали лежат на осях. Тогда половина \(BD\) равна \(6\), а половина \(AC\): \[ \sqrt{10^2-6^2}=8. \] Берём: \[ B(-6,0,0),\quad D(6,0,0),\quad C(0,8,0), \] \[ C_1(0,8,6). \] Центр верхней грани: \[ O_1(0,0,6). \] Плоскость \(BDC_1\) проходит через ось \(x\), её уравнение: \[ 3y-4z=0. \] Расстояние: \[ d=\frac{|3\cdot0-4\cdot6|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}} =\frac{24}{5}=4{,}8. \] Ответ: \[ \boxed{4{,}8}. \]

---

9. Площадь сечения параллелепипеда

\[ AB=8,\quad AD=7,\quad AA_1=5. \] Координаты: \[ A_1(0,0,5),\quad C(8,7,0). \] Точка \(M\) на \(DD_1\), причём \(DM:MD_1=1:4\), значит \[ M(0,7,1). \] Плоскость сечения: \[ 7x+32y+56z=280. \] Она пересекает ребро \(BB_1\) в точке \[ Q(8,0,4). \] Сечение — четырёхугольник \(A_1QCM\). Диагонали: \[ \overrightarrow{A_1C}=(8,7,-5),\qquad \overrightarrow{QM}=(-8,7,-3). \] Площадь: \[ S=\frac12\left|\overrightarrow{A_1C}\times\overrightarrow{QM}\right|. \] Векторное произведение даёт длину \(2\sqrt{4209}\), поэтому \[ S=\frac12\cdot2\sqrt{4209}=\sqrt{4209}. \] Ответ: \[ \boxed{\sqrt{4209}}. \]

---

10. Сечение куба плоскостью \(D_1AE\)

Ребро куба \(4\). Точка \(E\) — середина \(BB_1\): \[ A(0,0,0),\quad E(4,0,2),\quad D_1(0,4,4). \] Плоскость \(D_1AE\): \[ x+2y-2z=0. \] Она пересекает ребро \(B_1C_1\) в точке \[ P(4,2,4). \] Сечение — четырёхугольник \(AEPD_1\).

Диагонали: \[ \overrightarrow{AP}=(4,2,4),\qquad \overrightarrow{ED_1}=(-4,4,2). \] Их векторное произведение: \[ \overrightarrow{AP}\times\overrightarrow{ED_1}=(-12,-24,24), \] длина равна \(36\). Значит, \[ S=\frac12\cdot36=18. \] Ответ: \[ \boxed{18}. \]