123

Краткий ответ

а) \(\displaystyle \frac{1}{axy}\) — при \(a\ne0,\ a\ne-1,\ x\ne0,\ y\ne0\);

б) \(\displaystyle \frac{4}{x^2}\) — при \(a\ne0,\ x\ne0,\ x\ne1\).

Как рассуждать

При умножении дробей числители и знаменатели перемножаются, но сначала лучше разложить всё на множители и сократить. Нельзя сокращать слагаемые — только множители.

а)

\[ \frac{xy}{a^2+a^3}\cdot\frac{a+a^2}{x^2y^2} = \frac{xy}{a^2(1+a)}\cdot\frac{a(1+a)}{x^2y^2}. \]

Сокращаем общие множители \(1+a\), \(a\) и \(xy\):

\[ =\frac{1}{axy}. \]

Ограничения появились из знаменателей: \(a^2+a^3\ne0\), то есть \(a\ne0,\ a\ne-1\); кроме того, \(x\ne0,\ y\ne0\).

б)

\[ \frac{6a}{x^2-x}\cdot\frac{2x-2}{3ax} = \frac{6a}{x(x-1)}\cdot\frac{2(x-1)}{3ax}. \]

Сокращаем \(x-1\), \(a\), \(x\) и числа:

\[ =\frac{4}{x^2}. \]

Ограничения: \(x\ne0,\ x\ne1\) и \(a\ne0\).

Проверка

Возьмём \(a=2,\ x=3,\ y=4\).

а) Исходное выражение:

\[ \frac{12}{12}\cdot\frac{6}{144}=\frac1{24}. \]

По формуле:

\[ \frac1{2\cdot3\cdot4}=\frac1{24}. \]

б) Исходное выражение:

\[ \frac{12}{6}\cdot\frac{4}{18}=\frac49. \]

По формуле:

\[ \frac4{3^2}=\frac49. \]

Всё сходится.

Главное правило: разложи числители и знаменатели на множители, запиши произведение одной дробью, затем сократи одинаковые множители. Ограничения исходных знаменателей при этом нужно помнить.