Реши задание на изображении

Краткий ответ: а) \(MN\parallel BO\); б) \(S_{BOMN}=7\).

а) Доказательство параллельности

Так как \(O\) — центр окружности, то \(OC=ON\). Кроме того, \(BC\perp AC\), а \(OC\) лежит на \(AC\), значит, \(BC\) — касательная к окружности в точке \(C\). Отрезки \(BN\) и \(BC\) — касательные, проведённые из одной точки \(B\), поэтому \[ BN=BC. \]

Прямоугольные треугольники \(BOC\) и \(BON\) имеют общую гипотенузу \(OB\) и равные катеты \(OC=ON\) (радиусы). Они равны, значит, \(BO\) — биссектриса угла \(CBN\). В равнобедренном треугольнике \(BCN\) биссектриса из вершины \(B\) перпендикулярна основанию \(CN\), поэтому \[ BO\perp CN. \]

С другой стороны, \(CM\) — диаметр окружности, а точка \(N\) лежит на окружности, поэтому угол \(CNM\) прямой: \[ MN\perp CN. \]

Две прямые, перпендикулярные одной и той же прямой \(CN\), параллельны. Следовательно, \[ MN\parallel BO. \]

б) Площадь \(BOMN\)

Пусть \[ AM=x,\qquad MC=3x. \] Тогда \[ AC=AM+MC=4x. \] Обозначим \(BC=y\).

Так как \(BC\) и \(BN\) — касательные из точки \(B\), то \(BN=BC=y\).
По теореме о касательной и секущей из точки \(A\): \[ AN^2=AM\cdot AC=x\cdot 4x=4x^2, \] значит, \[ AN=2x. \] Тогда \[ AB=AN+NB=2x+y. \]

Но треугольник \(ABC\) прямоугольный, поэтому \[ AB^2=AC^2+BC^2. \] Получаем: \[ (2x+y)^2=(4x)^2+y^2, \] \[ 4x^2+4xy+y^2=16x^2+y^2, \] \[ 4xy=12x^2, \] \[ y=3x. \] Значит, \[ BC=BN=3x,\qquad AB=5x. \]

Теперь используем \(CN=4\). В треугольнике \(BCN\): \[ BC=BN=3x,\qquad \angle CBN=\angle ABC, \] причём в прямоугольном треугольнике \(ABC\) \[ \cos\angle ABC=\frac{BC}{AB}=\frac{3x}{5x}=\frac35. \] По теореме косинусов: \[ CN^2=(3x)^2+(3x)^2-2(3x)(3x)\cdot\frac35. \] То есть \[ 16=18x^2-\frac{18x^2\cdot 3}{5} =\frac{36}{5}x^2. \] Отсюда \[ x^2=\frac{20}{9},\qquad x=\frac{2\sqrt5}{3}. \] Тогда \[ MC=3x=2\sqrt5,\qquad BC=3x=2\sqrt5. \]

Так как \(O\) — середина \(CM\), \[ OC=\frac{MC}{2}=\sqrt5. \] В прямоугольном треугольнике \(BOC\): \[ BO=\sqrt{BC^2+OC^2} =\sqrt{(2\sqrt5)^2+(\sqrt5)^2} =\sqrt{20+5}=5. \]

В прямоугольном треугольнике \(CMN\) угол \(N\) прямой, \(CM=2\sqrt5\), \(CN=4\), поэтому \[ MN=\sqrt{CM^2-CN^2} =\sqrt{(2\sqrt5)^2-4^2} =\sqrt{20-16}=2. \]

По пункту а) \(MN\parallel BO\), значит \(BOMN\) — трапеция с основаниями \(BO=5\) и \(MN=2\). Её высота равна половине \(CN\), то есть \(2\), поскольку \(BO\) является биссектрисой и медианой в равнобедренном треугольнике \(BCN\).

Следовательно, \[ S_{BOMN}=\frac{BO+MN}{2}\cdot h =\frac{5+2}{2}\cdot 2=7. \]

Ответ: б) \(7\) кв. ед.