Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Краткий ответ
\[x^2-5x+6=0 \quad\Rightarrow\quad x_1=2,\; x_2=3\]Как это получается
Способ 1. Через теорему Виета (самый быстрый). Для уравнения \(x^2+px+q=0\) сумма корней равна \(-p\), а произведение равно \(q\). Здесь \(p=-5\), \(q=6\), значит нужны два числа, у которых:
\[x_1+x_2=5,\qquad x_1\cdot x_2=6\]Это \(2\) и \(3\): \(2+3=5\), \(2\cdot 3=6\).
Способ 2. Разложение на множители. Ищем числа, дающие в сумме \(-5\) и в произведении \(6\): это \(-2\) и \(-3\). Тогда
\[x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0\]Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель нулевой: \(x-2=0\) или \(x-3=0\), то есть \(x=2\) или \(x=3\).
Способ 3. Через дискриминант (универсальный — работает всегда).
\[D=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1>0\] \[x_{1,2}=\frac{5\pm\sqrt{1}}{2}=\frac{5\pm 1}{2}\;\Rightarrow\; x_1=\frac{6}{2}=3,\quad x_2=\frac{4}{2}=2\]Проверка
- \(x=2\): \(4-10+6=0\) ✔
- \(x=3\): \(9-15+6=0\) ✔
Принцип на будущее: если в уравнении \(x^2+px+q=0\) коэффициент при \(x^2\) равен единице, сначала пробуй Виета — подбирай два числа по сумме и произведению. Дискриминант выручит, когда числа не подбираются (например, корни иррациональные или дробные).
