Что такое простое число

Краткий ответ

Составное число — это натуральное число, большее \(1\), у которого есть делитель, отличный от \(1\) и от самого числа. Иначе говоря, его можно представить произведением двух натуральных чисел, каждое из которых больше \(1\).

\[ n = a\cdot b,\quad a>1,\ b>1 \]

• Составные: \(4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, \dots\)
• Не составные: \(1\) (и \(0\)) — они не относятся ни к простым, ни к составным; простые \(2, 3, 5, 7, 11, \dots\)

Главная связь с простыми числами

Любое натуральное число больше \(1\) — это либо простое, либо составное, третьего не дано.

• Простое: делителей ровно два — \(1\) и само \(n\).
• Составное: делителей три или больше.

Проверка на примерах:

• \(7\): делители \(1, 7\) → простое;
• \(12\): делители \(1, 2, 3, 4, 6, 12\) → составное, \(12 = 3\cdot4 = 2\cdot2\cdot3\);
• \(1\): единственный делитель — \(1\), поэтому не простое и не составное.

Как узнать, составное ли число

Достаточно найти хотя бы один делитель, кроме \(1\) и самого числа. Дальше проверять не нужно — доказательство уже есть. Удобно так:

1. Проверяем маленькие делители \(2, 3, 5\) по признакам делимости.
2. Если не подошли, перебираем простые \(7, 11, 13, \dots\), пока делитель не превысит \(\sqrt{n}\).
3. Нашли делитель → составное. Не нашли → простое.

Пример 1. Число 91. \(\sqrt{91}\approx 9{,}5\), проверяем \(2, 3, 5, 7\):

• нечётное → не делится на \(2\);
• \(9+1=10\), не делится на \(3\);
• не оканчивается на \(0\) или \(5\);
• \(91 = 7\cdot13\) ✔

Значит, 91 составное, хотя с виду «похоже на простое».

Пример 2. Число 97. \(\sqrt{97}\approx 9{,}8\), проверяем \(2, 3, 5, 7\): ни один не подходит → делителей, кроме \(1\) и \(97\), нет → 97 простое.

Что полезно помнить

• Наименьшее составное число — \(4\). Наименьшее нечётное составное — \(9\).
• Любое чётное число больше \(2\) составное: оно делится на \(2\).
• Составное число всегда раскладывается на простые множители, причём единственным способом: \(36 = 2^2\cdot3^2\).
• Ловушка: число, оканчивающееся на \(1, 3, 7, 9\), не гарантированно простое — \(51 = 3\cdot17\), \(91 = 7\cdot13\), \(121 = 11\cdot11\).

Мини-проверка

Определи, простые или составные: \(39,\ 43,\ 87,\ 89\).

Краткий ответ

Составное число — это натуральное число, большее \(1\), у которого больше двух делителей, то есть оно делится не только на \(1\) и на само себя, но ещё хотя бы на одно число. Иначе говоря, составное число можно разложить в произведение двух меньших натуральных чисел, каждое из которых больше \(1\).

• Составные: \(4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, \dots\)
• Не составные и не простые: \(1\) — у него только один делитель.
• Простые: \(2, 3, 5, 7, 11, 13, \dots\) — у них ровно два делителя.

Вместе простые числа, составные числа и единица охватывают все натуральные числа: каждое натуральное число — это либо \(1\), либо простое, либо составное.

Как это устроено

1. Почему «больше двух делителей». Определение даётся через делители, и это удобно: чтобы доказать, что число составное, достаточно предъявить один делитель, кроме \(1\) и самого числа.

2. Связь с простыми. Любое составное число раскладывается на простые множители, причём единственным способом (основная теорема арифметики): \[ 36 = 2\cdot2\cdot3\cdot3 = 2^2\cdot3^2 \]

Часто говорят короче: составное число — это число, которое можно разложить на множители, большие \(1\).

3. Частая путаница. «Составное» не значит «большое». Число \(4\) составное, а \(101\) — простое, хотя оно намного больше. Важна не величина, а делители.

Проверка на примерах

Число 1. Делитель только один (\(1\)). Не простое и не составное — особый случай.

Число 12. Делители: \(1, 2, 3, 4, 6, 12\) — их шесть. Значит, \(12\) составное, например \(12 = 3\cdot4\).

Число 17. Делители только \(1\) и \(17\). Это простое число, а не составное.

Число 91 — ловушка. Выглядит «простым», но \(91 = 7\cdot13\), делители: \(1, 7, 13, 91\). Значит, \(91\) составное. Поэтому проверять делимость нужно до \(\sqrt{n}\) (здесь \(\sqrt{91}\approx9{,}5\), хватает проверки на \(2, 3, 5, 7\)).

Как определить на практике

1. Если \(n \le 3\) — это \(1\) (ни то, ни другое), \(2\) или \(3\) (простые).
2. Если \(n\) чётное и больше \(2\) — составное (делится на \(2\)).
3. Иначе проверяй делимость на \(3, 5, 7, 11, \dots\) до \(\sqrt{n}\). Нашёл делитель — составное; не нашёл — простое.

Полезно запомнить: все числа, оканчивающиеся на \(0, 2, 4, 6, 8\) (кроме самой \(2\)), а также на \(5\) (кроме самой \(5\)), — составные, потому что делятся на \(2\) или на \(5\).