2/3 + 5/6

Краткий ответ: \[ \frac{11}{23}+\frac{8}{12}=\frac{79}{69}=1\frac{10}{69} \]

Решение:

1. Сократим вторую дробь: \[ \frac{8}{12}=\frac{2}{3} \]

2. Приведём дроби к общему знаменателю \(69=23\cdot3\): \[ \frac{11}{23}=\frac{11\cdot3}{23\cdot3}=\frac{33}{69} \] \[ \frac{2}{3}=\frac{2\cdot23}{3\cdot23}=\frac{46}{69} \]

3. Складываем: \[ \frac{33}{69}+\frac{46}{69}=\frac{79}{69} \]

4. Выделяем целую часть: \[ \frac{79}{69}=1\frac{10}{69} \]

Ответ: \[ \boxed{\frac{79}{69}=1\frac{10}{69}} \]

Краткий ответ: \[ \frac{2}{8}\times\frac{3}{5}=\frac{3}{20} \]

Решение:

1. Сократим первую дробь: \[ \frac{2}{8}=\frac{1}{4} \]

2. Умножаем числители и знаменатели: \[ \frac{1}{4}\times\frac{3}{5}=\frac{1\cdot 3}{4\cdot 5}=\frac{3}{20} \]

Ответ: \[ \boxed{\frac{3}{20}} \]

При умножении дробей общий знаменатель находить не нужно — просто перемножаем числители и знаменатели.

Главное: размер знаменателя не меняет сами правила. Меняется только способ найти общий знаменатель: у маленьких чисел его часто видно сразу, у больших удобнее раскладывать на простые множители.

1. Сложение и вычитание дробей

Складывать и вычитать можно только дроби с одинаковыми знаменателями:

\[ \frac{a}{b}+\frac{c}{b}=\frac{a+c}{b} \]

\[ \frac{a}{b}-\frac{c}{b}=\frac{a-c}{b} \]

Если знаменатели разные:

1. Сократи дроби, если можно.
2. Найди общий знаменатель, лучше наименьший — НОК знаменателей.
3. Приведи обе дроби к этому знаменателю.
4. Сложи или вычти числители.
5. Сократи результат.

Маленькие знаменатели

\[ \frac14+\frac16 \]

Общий знаменатель \(12\):

\[ \frac14=\frac3{12},\qquad \frac16=\frac2{12} \]

\[ \frac3{12}+\frac2{12}=\frac5{12} \]

Ответ: \(\boxed{\frac5{12}}\).

Вычитание:

\[ \frac56-\frac38 \]

Общий знаменатель \(24\):

\[ \frac56=\frac{20}{24},\qquad \frac38=\frac9{24} \]

\[ \frac{20}{24}-\frac9{24}=\frac{11}{24} \]

Большие знаменатели

\[ \frac{17}{45}+\frac{13}{60} \]

Раскладываем на простые множители:

\[ 45=3^2\cdot5,\qquad 60=2^2\cdot3\cdot5 \]

Берём каждый множитель в наибольшей степени:

\[ \text{НОК}=2^2\cdot3^2\cdot5=180 \]

Приводим:

\[ \frac{17}{45}=\frac{68}{180},\qquad \frac{13}{60}=\frac{39}{180} \]

\[ \frac{68}{180}+\frac{39}{180}=\frac{107}{180} \]

Ответ: \(\boxed{\frac{107}{180}}\).

Ещё один пример на вычитание:

\[ \frac{11}{18}-\frac{5}{24} \]

\[ 18=2\cdot3^2,\qquad 24=2^3\cdot3 \]

\[ \text{НОК}=2^3\cdot3^2=72 \]

\[ \frac{11}{18}=\frac{44}{72},\qquad \frac{5}{24}=\frac{15}{72} \]

\[ \frac{44}{72}-\frac{15}{72}=\frac{29}{72} \]

Полезно запомнить:

• если один знаменатель делится на другой, бери больший;
• если у знаменателей нет общих множителей, общий знаменатель — их произведение;
• если знаменатели большие, раскладывай на простые множители.

2. Умножение дробей

При умножении общий знаменатель не нужен. Просто перемножаем числители и знаменатели:

\[ \frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd} \]

Перед умножением удобно сокращать.

Пример с маленькими числами

\[ \frac29\cdot\frac34 \]

Сокращаем \(3\) и \(9\), \(2\) и \(4\):

\[ \frac29\cdot\frac34=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}=\frac16 \]

Пример с большими числами

\[ \frac{14}{25}\cdot\frac{15}{28} \]

Сокращаем \(14\) и \(28\) на \(14\), \(15\) и \(25\) на \(5\):

\[ \frac{14}{25}\cdot\frac{15}{28} = \frac12\cdot\frac35 = \frac3{10} \]

Ответ: \(\boxed{\frac3{10}}\).

3. Деление дробей

Правило: деление на дробь — это умножение на перевёрнутую вторую дробь:

\[ \frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c} \]

Переворачиваем только вторую дробь. На ноль делить нельзя, поэтому \(c\ne0\).

Пример

\[ \frac35:\frac9{10} = \frac35\cdot\frac{10}{9} = \frac{30}{45} = \frac23 \]

С большими знаменателями

\[ \frac5{12}:\frac{10}{9} = \frac5{12}\cdot\frac9{10} = \frac{45}{120} = \frac38 \]

Кратко

Действие	Что делать
Сложение	общий знаменатель, сложить числители
Вычитание	общий знаменатель, вычесть числители
Умножение	перемножить числители и знаменатели
Деление	перевернуть вторую дробь и умножить

Частая ошибка:

\[ \frac12+\frac13\neq\frac25 \]

Правильно:

\[ \frac12+\frac13=\frac36+\frac26=\frac56 \]

Если есть смешанные числа, например \(2\frac13\), перед умножением или делением переводи их в неправильную дробь:

\[ 2\frac13=\frac73 \]

Пришли свой пример с большими знаменателями — разберём его по шагам.

Понял: речь о дробях — с большими и маленькими знаменателями. Правила одни и те же, разница только в том, как быстро найти общий знаменатель. Давай соберём всё в один чёткий алгоритм.

Шаг 0. Подготовка (всегда)

• Смешанное число переведи в неправильную дробь: \(2\frac13=\frac73\).
• Сократи дроби, если можно: \(\frac{8}{12}=\frac23\).
• Запиши, какое действие выполняется, — от этого зависит план.

---

Сложение и вычитание

\[ \frac{a}{b}\pm\frac{c}{d}\quad\Rightarrow\quad\text{общий знаменатель}\quad\Rightarrow\quad\frac{a\cdot k}{bd'}\pm\frac{c\cdot m}{bd'} \] то есть приводим к одному знаменателю, потом работаем только с числителями.

Три случая поиска общего знаменателя

Случай 1. Один знаменатель делится на другой — бери больший.

\[ \frac34+\frac58:\quad 8\ \vdots\ 4 \Rightarrow \text{знаменатель }8 \] \[ \frac34=\frac68,\qquad \frac68+\frac58=\frac{11}{8}=1\frac38 \]

Случай 2. Знаменатели взаимно простые (нет общих множителей) — перемножай.

\[ \frac57+\frac23=\frac{15}{21}+\frac{14}{21}=\frac{29}{21}=1\frac{8}{21} \]

Случай 3. Общий случай (большие числа) — раскладывай на простые множители и бери НОК.

\[ \frac{7}{36}+\frac{5}{54} \] \[ 36=2^2\cdot3^2,\qquad 54=2\cdot3^3 \] \[ \text{НОК}=2^2\cdot3^3=4\cdot27=108 \] \[ \frac{7}{36}=\frac{21}{108},\qquad \frac{5}{54}=\frac{10}{108} \] \[ \frac{21}{108}+\frac{10}{108}=\frac{31}{108} \]

Вычитание с большими числами:

\[ \frac{17}{24}-\frac{7}{16} \] \[ 24=2^3\cdot3,\qquad 16=2^4 \Rightarrow \text{НОК}=2^4\cdot3=48 \] \[ \frac{34}{48}-\frac{21}{48}=\frac{13}{48} \]

Запасной приём: можно просто умножить знаменатели (\(36\cdot54\)). Ответ получится верный, но числа будут большими — придётся долго сокращать. НОК экономит работу.

---

Умножение

\[ \frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd} \]

Общий знаменатель не нужен. Главный приём — сокращать до умножения (крест-накрест).

Маленькие числа:

\[ \frac29\cdot\frac34=\frac{2\cdot3}{9\cdot4}=\frac{6}{36}=\frac16 \]

Большие числа — сокращаем заранее:

\[ \frac{21}{40}\cdot\frac{8}{27} \]

• \(21\) и \(27\) делим на \(3\): \(\;7\) и \(9\)
• \(8\) и \(40\) делим на \(8\): \(\;1\) и \(5\)

\[ \frac{7}{5}\cdot\frac{1}{9}=\frac{7}{45} \]

---

Деление

\[ \frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c} \]

Переворачиваем только вторую дробь (\(c\neq0\)), дальше — обычное умножение.

\[ \frac9{14}:\frac{15}{28}=\frac9{14}\cdot\frac{28}{15} \]

• \(28\) и \(14\): \(\;2\) и \(1\)
• \(9\) и \(15\): \(\;3\) и \(5\)

\[ \frac{3}{1}\cdot\frac{2}{5}=\frac65=1\frac15 \]

---

Сводная таблица

Действие	Нужен общий знаменатель?	Что делать
Сложение	да	привести, сложить числители
Вычитание	да	привести, вычесть числители
Умножение	нет	перемножить, сократить заранее
Деление	нет	перевернуть вторую, умножить

---

Две частые ошибки

1. Складывают «как умножают»: \[ \frac12+\frac13\neq\frac25 \] Правильно \(\frac36+\frac26=\frac56\).

2. Переворачивают при делении первую дробь. Переворачивается только та, на которую делят.

---

Проверь себя (реши сам, ответы ниже)

1. \(\dfrac{5}{9}+\dfrac{7}{12}\)
2. \(\dfrac{11}{15}-\dfrac{3}{10}\)
3. \(\dfrac{14}{25}\cdot\dfrac{15}{21}\)
4. \(\dfrac{5}{8}:\dfrac{15}{16}\)

Ответы

1. НОК \(36\): \(\frac{20}{36}+\frac{21}{36}=\frac{41}{36}=1\frac{5}{36}\)
2. НОК \(30\): \(\frac{22}{30}-\frac{9}{30}=\frac{13}{30}\)
3. Сокращаем: \(\frac{2}{5}\cdot\frac{3}{3}=\frac{2}{5}\) (проверка: \(\frac{14\cdot15}{25\cdot21}=\frac{210}{525}=\frac{2}{5}\))
4. \(\frac{5}{8}\cdot\frac{16}{15}=\frac{2}{3}\)

Если хочешь, пришли одно своё задание с большими знаменателями — разберём его по этому алгоритму по шагам.