Реши задачи 405 и 409 срисунком

405. Кратко:
а) углы ромба: \(60^\circ\) и \(120^\circ\);
б) диагонали образуют со сторонами углы \(30^\circ\) и \(60^\circ\).

Рисунок (схема):

        A
       /|\
      / | \
     B--O--D
      \ | /
       \|/
        C

\(ABCD\) — ромб, \(O\) — точка пересечения диагоналей, \(BD=AB\).

Решение.
Пусть \(BD=AB\). В ромбе все стороны равны, поэтому \[ AB=AD=BD. \] Значит, треугольник \(ABD\) равносторонний, и \[ \angle BAD=60^\circ. \] У ромба противоположные углы равны, а соседние в сумме дают \(180^\circ\). Поэтому \[ \angle C=60^\circ,\qquad \angle B=\angle D=180^\circ-60^\circ=120^\circ. \]

Диагонали ромба делят его углы пополам:

• при острых углах \(60^\circ\) диагональ образует со стороной \(30^\circ\);
• при тупых углах \(120^\circ\) — \(60^\circ\).

То есть искомые углы: \(\boxed{30^\circ\text{ и }60^\circ}\).

409. Нужно доказать, что ромб с одним прямым углом — квадрат.

Рисунок (схема):

      A──────B
      │      │
      │      │
      D──────C

\(ABCD\) — ромб, \(\angle A=90^\circ\), \(AB=BC=CD=DA\).

Доказательство.
Ромб является параллелограммом. В параллелограмме противоположные углы равны, а соседние дают в сумме \(180^\circ\).
Если \[ \angle A=90^\circ, \] то \[ \angle C=\angle A=90^\circ, \] а \[ \angle B=\angle D=180^\circ-90^\circ=90^\circ. \] Значит, все углы ромба прямые, то есть \(ABCD\) — прямоугольник.

Но у ромба все стороны равны: \[ AB=BC=CD=DA. \] Прямоугольник, у которого все стороны равны, является квадратом. Следовательно, данный ромб — квадрат. \(\blacksquare\)

Проверка: в 405 сумма углов при вершине \(A\) равна \(30^\circ+30^\circ=60^\circ\), а при вершине \(B\): \(60^\circ+60^\circ=120^\circ\) — всё согласуется с углами ромба.