Требуется решить систему уравнений графически: {y=x3−1y=(x−1)2+6{y=x3−1y=(x−1)2+6
Считаю запись так: \[ \begin{cases} y=x^3-1,\\ y=(x-1)^2+6. \end{cases} \]
Краткий ответ: графики пересекаются в одной точке
\[
(2;\;7).
\]
Как это понять по графику
Строим кубическую параболу \(y=x^3-1\): она проходит, например, через точки
\[ (-1;-2),\ (0;-1),\ (1;0),\ (2;7). \]Строим обычную параболу \(y=(x-1)^2+6\). Её вершина — \((1;6)\), ветви направлены вверх. Некоторые точки: \[ (0;7),\ (1;6),\ (2;7). \]
На одном чертеже видно, что общая точка графиков — \((2;7)\).
Проверка подстановкой \(x=2\): \[ y=x^3-1=2^3-1=7, \] \[ y=(x-1)^2+6=(2-1)^2+6=1+6=7. \] Обе формулы дают \(y=7\), значит, точка \((2;7)\) действительно принадлежит обоим графикам.
Почему других точек нет. Если приравнять правые части: \[ x^3-1=(x-1)^2+6, \] получим \[ x^3-x^2+2x-8=0. \] Разложим: \[ x^3-x^2+2x-8=(x-2)(x^2+x+4). \] У уравнения \(x^2+x+4=0\) дискриминант \[ D=1-16=-15<0, \] поэтому действительных корней оно не даёт. Остаётся только \(x=2\).
Ответ: \((2;7)\).
Обсуждение
2 сообщенияПостроить график
Строим графики на одной координатной плоскости. Ниже схема: синяя линия — \(y=x^3-1\), красная — \(y=(x-1)^2+6\). Пунктиром показаны координаты общей точки.
Опорные точки для построения в тетради:
| \(x\) | \(y=x^3-1\) | \(y=(x-1)^2+6\) |
|---|---|---|
| \(-1\) | \(-2\) | \(10\) |
| \(0\) | \(-1\) | \(7\) |
| \(1\) | \(0\) | \(6\) |
| \(2\) | \(7\) | \(7\) |
| \(3\) | \(26\) | \(10\) |
У второй параболы вершина — \((1;6)\), ветви направлены вверх.
Общая точка графиков: \[ A(2;7). \]
То есть графическое решение системы: \[ \boxed{(2;7)}. \]
