Требуется решить систему уравнений графически: {y=x3−1y=(x−1)2+6{y=x3−1y=(x−1)2+6
Кратко: система имеет единственное решение
\[
\boxed{x=2,\quad y=7}
\]
то есть графики пересекаются в точке \(\boxed{(2;\,7)}\).
Считаю, что запись означает \[ y=x^3-1,\qquad y=(x-1)^2+6. \]
Как решают графически:
Строим график \(y=x^3-1\) — это кубическая кривая, сдвинутая на 1 вниз. Полезные точки: \[ (-1,-2),\ (0,-1),\ (1,0),\ (2,7),\ (3,26). \]
Строим график \(y=(x-1)^2+6\) — парабола с вершиной \((1;6)\), ветви вверх. Полезные точки: \[ (-1,10),\ (0,7),\ (1,6),\ (2,7),\ (3,10). \]
На рисунке видно одно пересечение — в точке \((2;7)\).
Проверка: \[ 2^3-1=8-1=7, \] \[ (2-1)^2+6=1+6=7. \] Обе формулы дают \(y=7\), значит точка подходит.
Чтобы убедиться, что других пересечений нет, можно приравнять правые части: \[ x^3-1=(x-1)^2+6, \] \[ x^3-x^2+2x-8=0, \] \[ (x-2)(x^2+x+4)=0. \] У квадратного трёхчлена \(x^2+x+4\) дискриминант \[ D=1-16=-15<0, \] поэтому он не даёт действительных корней. Остаётся только \(x=2\).
Ответ: \(\boxed{(2;7)}\).
