Реши задание на изображении

На фото видны номера 430, 431, 432 и 434 — решаю их. Все углы даны в радианах.

Краткие ответы

430.

1. \(0\); 2) \(-1\); 3) \(1\); 4) \(-1\); 5) \(-1\); 6) \(1\).

431.

1. \(\sin\beta=0,\ \cos\beta=-1\);
2. \(\sin\beta=0,\ \cos\beta=1\);
3. \(\sin\beta=-1,\ \cos\beta=0\);
4. \(\sin\beta=1,\ \cos\beta=0\);
5. \(\sin\beta=0,\ \cos\beta=(-1)^k,\ k\in\mathbb Z\);
6. \(\sin\beta=0,\ \cos\beta=-1\).

432.

1. \(0\); 2) \(2\).

434.

1. \(\frac32\); 2) \(-7\); 3) \(-\frac23\); 4) \(-\frac14\).

Как это устроено

Синус — это \(y\)-координата точки на единичной окружности, косинус — \(x\)-координата. Поэтому удобно пользоваться таблицей опорных углов:

\[ \begin{array}{c|ccccccc} \alpha & 0 & \frac{\pi}{6} & \frac{\pi}{4} & \frac{\pi}{3} & \frac{\pi}{2} & \pi & \frac{3\pi}{2}\\ \hline \sin\alpha & 0 & \frac12 & \frac{\sqrt2}{2} & \frac{\sqrt3}{2} & 1 & 0 & -1\\ \cos\alpha & 1 & \frac{\sqrt3}{2} & \frac{\sqrt2}{2} & \frac12 & 0 & -1 & 0 \end{array} \]

Ещё нужно помнить: \[ \operatorname{tg}\frac{\pi}{6}=\frac1{\sqrt3},\quad \operatorname{tg}\frac{\pi}{4}=1,\quad \operatorname{tg}\frac{\pi}{3}=\sqrt3,\quad \operatorname{ctg}\frac{\pi}{4}=1. \]

430

Подставляем значения:

1. \(\sin\frac{\pi}{2}+\sin\frac{3\pi}{2}=1+(-1)=0\);
2. \(\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)+\cos\frac{\pi}{2}=-1+0=-1\);
3. \(\sin\pi-\cos\pi=0-(-1)=1\);
4. \(\sin0-\cos2\pi=0-1=-1\);
5. \(\sin\pi+\sin1{,}5\pi=0+(-1)=-1\);
6. \(\sin0+\cos2\pi=0+1=1\).

431

1. \(3\pi=2\pi+\pi\), поэтому \(\sin3\pi=0,\ \cos3\pi=-1\).
2. \(4\pi=2\cdot2\pi\), поэтому \(\sin4\pi=0,\ \cos4\pi=1\).
3. \(3{,}5\pi=\frac{7\pi}{2}=2\pi+\frac{3\pi}{2}\), значит \(\sin=-1,\ \cos=0\).
4. \(\frac{5\pi}{2}=2\pi+\frac{\pi}{2}\), значит \(\sin=1,\ \cos=0\).
5. Для \(\beta=\pi k\): \[ \sin(\pi k)=0,\qquad \cos(\pi k)=(-1)^k. \] Если \(k\) чётное, \(\cos=1\); если нечётное, \(\cos=-1\).
6. \(\beta=(2k+1)\pi\) — это нечётные числа \(\pi\): точка находится слева, поэтому \(\sin=0,\ \cos=-1\).

432

1. \(\sin3\pi-\cos\frac{3\pi}{2}=0-0=0\).
2. \(\cos0-\cos3\pi+\cos3{,}5\pi=1-(-1)+0=2\).

434

1. \[ 3\sin\frac{\pi}{6}+2\cos\frac{\pi}{6}-\operatorname{tg}\frac{\pi}{3} =3\cdot\frac12+2\cdot\frac{\sqrt3}{2}-\sqrt3 =\frac32. \]

2. \[ 5\sin\frac{\pi}{4}+3\operatorname{tg}\frac{\pi}{4} -5\cos\frac{\pi}{4}-10\operatorname{ctg}\frac{\pi}{4}. \] Так как \(\sin\frac{\pi}{4}=\cos\frac{\pi}{4}\), первые и третьи слагаемые взаимно уничтожаются: \[ 5\cdot\frac{\sqrt2}{2}+3-5\cdot\frac{\sqrt2}{2}-10=-7. \]

3. \[ \left(2\operatorname{tg}\frac{\pi}{6}-\operatorname{tg}\frac{\pi}{3}\right):\cos\frac{\pi}{6} = \frac{2\cdot\frac1{\sqrt3}-\sqrt3}{\frac{\sqrt3}{2}} = \frac{-\frac1{\sqrt3}}{\frac{\sqrt3}{2}} =-\frac23. \]

4. \[ \sin\frac{\pi}{3}\cdot\cos\frac{\pi}{6}-\operatorname{tg}\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}-1 = \frac34-1=-\frac14. \]

Проверка: во всех пунктах 430 и 432 использованы углы на осях координат — там синус или косинус равен \(0,\ 1\) или \(-1\); в 434 подставлены табличные значения и упрощены выражения.