углы вписанные в окружности
Коротко: главное правило
Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается (и половине соответствующего центрального угла):
\[\angle ABC = \frac{1}{2}\,\cup AC = \frac{1}{2}\,\angle AOC\]Здесь \(B\) — вершина на окружности, \(A\) и \(C\) — точки на окружности, \(O\) — центр.
Откуда это берётся (принцип, а не заучивание)
Соединим вершину \(B\) с центром \(O\). Треугольники \(AOB\) и \(BOC\) равнобедренные (\(OA=OB=OC=R\) — радиусы). Значит, угол при основании равен углу при основании, а внешний угол при вершине \(O\) равен сумме двух внутренних, не смежных с ним. Отсюда центральный угол \(\angle AOC\) ровно в два раза больше вписанного \(\angle ABC\), опирающегося на ту же дугу.
То есть «половинка» — не случайность, а следствие равнобедренных треугольников с радиусами.
Как решать любую задачу такого типа — 4 шага
- Найди вершину. Вписанный угол — тот, у которого вершина на окружности, а стороны — хорды. Если вершина в центре — это центральный угол, он равен дуге целиком.
- Определи дугу, на которую угол опирается: она заключена между сторонами угла и не содержит вершину.
- Примени формулу: дугу дели на 2 (или угол умножь на 2, если ищешь дугу/центральный угол).
- Проверь: центральный угол должен быть в 2 раза больше вписанного; если в треугольнике — сумма углов \(180^\circ\); если четырёхугольник вписан — противоположные углы дают в сумме \(180^\circ\).
Пример с проверкой
Дуга \(\cup AC = 84^\circ\). Найти вписанный \(\angle ABC\).
\[\angle ABC = \frac{84^\circ}{2} = 42^\circ\]Проверка: центральный \(\angle AOC = 84^\circ\), и \(84 = 2\cdot 42\) ✓.
Обратная задача: вписанный угол \(35^\circ\) → дуга \(70^\circ\) → центральный угол \(70^\circ\).
Полезные следствия (их часто и проверяют)
- Углы, опирающиеся на одну и ту же дугу с одной стороны, равны.
- Угол, опирающийся на диаметр, прямой: \(90^\circ\).
- Вписанный четырёхугольник: \(\angle A + \angle C = 180^\circ\), \(\angle B + \angle D = 180^\circ\).
- Угол между касательной и хордой равен половине дуги, заключённой внутри него.
- Если дуга больше \(180^\circ\), вписанный угол тупой — это нормально, формула та же.
Пришли конкретную задачу с числами или фото — разберём именно её по этим шагам.
Обсуждение
6 сообщенийДай задачу с числами для тренировки
Задача 1 (базовая)
В окружности с центром \(O\) точки \(A\), \(B\), \(C\) лежат на окружности. Дуга \(\cup AC\), не содержащая точку \(B\), равна \(118^\circ\).
Найди: а) вписанный угол \(\angle ABC\); б) центральный угол \(\angle AOC\).
Задача 2 (с диаметром)
\(AB\) —
Дай ответ что просто пересказать
Ответ для пересказа (углы, вписанные в окружность)
Определение. Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны — хорды этой окружности. Угол с вершиной в центре называется центральным; он равен дуге, на которую опирается.
Теорема. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, то есть половине соответствующего центрального угла:
\[\angle ABC=\tfrac12\cup AC=\tfrac12\angle AOC.\]Почему это так. Соединим вершину \(B\) с центром \(O\). Треугольники \(AOB\) и \(BOC\) равнобедренные, ведь \(OA=OB=OC=R\) — радиусы. У равнобедренного треугольника углы при основании равны, а внешний угол равен сумме двух внутренних, с ним не смежных. Поэтому центральный угол \(\angle AOC\) получается ровно в два раза больше вписанного \(\angle ABC\), опирающегося на ту же дугу.
Следствия, которые чаще всего спрашивают:
- Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
- Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой — \(90^\circ\).
- У вписанного четырёхугольника противоположные углы в сумме дают \(180^\circ\).
- Угол между касательной и хордой равен половине заключённой внутри него дуги.
- Чтобы найти дугу, вписанный угол умножают на 2; чтобы найти вписанный угол, дугу делят на 2.
Если нужно, могу сократить это до 5–6 фраз — самого минимума для ответа у доски.
205 реши
205. Решите уравнение
а)
\[
(6-x)(x+6)-(x-11)x=36
\]
\[
36-x^2-(x^2-11x)=36
\]
\[
-2x^2+11x=0
\]
\[
x(11-2x)=0
\]
\[
x=0 \quad \text{или} \quad x=\frac{11}{2}=5{,}5
\]
б)
\[
\frac{1-3y}{5}-\frac{3-y}{3}=0
\]
Умножим на \(15\):
\[
3(1-3y)-5(3-y)=0
\]
\[
3-9y-15+5y=0
\]
\[
-4y-12=0
\]
\[
y=-3
\]
в)
\[
9x^2-\frac{(12x-11)(3x+8)}{4}=1
\]
Умножим на \(4\):
\[
36x^2-(12x-11)(3x+8)=4
\]
\[
36x^2-(36x^2+63x-88)=4
\]
\[
-63x+88=4
\]
\[
-63x=-84
\]
\[
x=\frac{84}{63}=\frac{4}{3}=1\frac13
\]
г)
\[
x^4-x^2=\frac{(1+2x^2)(2x^2-1)}{4}
\]
Пусть \(t=x^2\). Тогда:
\[
t^2-t=\frac{(1+2t)(2t-1)}{4}
\]
\[
t^2-t=\frac{4t^2-1}{4}
\]
\[
t^2-t=t^2-\frac14
\]
\[
t=\frac14
\]
Значит:
\[
x^2=\frac14
\]
\[
x=\pm\frac12
\]
Ответ:
а) \(x=0;\ 5{,}5\)
б) \(y=-3\)
в) \(x=\frac43=1\frac13\)
г) \(x=\pm\frac12\)
