Реши задание на изображении

Кратко: для функции
\[ y=-x^2+x+2 \] коэффициент \(a=-1\), значит, ветви параболы направлены вниз.
Вершина: \(\left(\frac12;\,2{,}25\right)\). Нули: \(x=-1\) и \(x=2\). Наибольшее значение функции равно \(2{,}25\).

Как это получить

1. Коэффициенты: \[ a=-1,\quad b=1,\quad c=2 \]

2. Вершина параболы.
   Абсцисса вершины: \[ x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{2\cdot(-1)}=\frac12 \] Подставляем в функцию: \[ y_0=-\left(\frac12\right)^2+\frac12+2 =-\frac14+\frac12+2=\frac94=2{,}25 \] Значит, \[ V\left(\frac12;\,2{,}25\right) \] Ось симметрии параболы: \[ x=\frac12 \]

3. Нули функции. Решаем: \[ -x^2+x+2=0 \] \[ x^2-x-2=0 \] \[ (x-2)(x+1)=0 \] Отсюда: \[ x=-1,\qquad x=2 \] То есть график пересекает ось \(Ox\) в точках \((-1;0)\) и \((2;0)\).

4. Пересечение с осью \(Oy\): при \(x=0\) \[ y=2 \] то есть точка \((0;2)\).

5. Проверка через выделение квадрата: \[ y=-x^2+x+2=-\left(x-\frac12\right)^2+\frac94 \] Отсюда сразу видно, что максимум равен \(\frac94\) при \(x=\frac12\), а ветви уходят вниз.

Точки для графика

Соединяем эти точки плавной линией — получается парабола ветвями вниз.

Свойства функции:

• область определения: \(x\in\mathbb R\);
• область значений: \(y\le 2{,}25\);
• функция возрастает при \(x\le \frac12\) и убывает при \(x\ge \frac12\);
• \(y>0\) при \(x\in(-1;2)\);
• \(y<0\) при \(x<-1\) или \(x>2\).