123 и 126
Кратко
- № 123: все четыре неравенства верны при любых значениях переменной.
- № 126: если \(a\) — сторона, которая на 7 см больше другой, то
\[ 7<a<12\text{ см}. \]
Меньшая сторона при этом находится в пределах \(0<a-7<5\) см.
№ 123
Общий приём: у квадратного трёхчлена при \(D<0\) знак совпадает со знаком старшего коэффициента. Там, где выражение является квадратом, всё решается ещё проще.
а)
\[
7x^2-10x+7>0.
\]
\[
D=(-10)^2-4\cdot7\cdot7=100-196=-96<0.
\]
Старший коэффициент \(7>0\), значит, парабола ветвями вверх и не пересекает ось \(Ox\). Поэтому выражение всегда положительно:
\[
7x^2-10x+7>0.
\]
б)
\[
-6y^2+11y-10<0.
\]
\[
D=11^2-4\cdot(-6)\cdot(-10)=121-240=-119<0.
\]
Старший коэффициент \(-6<0\), парабола ветвями вниз и не пересекает ось \(Ox\). Значит, выражение всегда отрицательно:
\[
-6y^2+11y-10<0.
\]
в)
\[
\frac14x^2-8x+64\ge0.
\]
Замечаем квадрат:
\[
\frac14x^2-8x+64=\frac14(x-16)^2\ge0.
\]
Квадрат всегда неотрицателен, поэтому неравенство верно при всех \(x\). Равенство достигается при \(x=16\).
г)
\[
-9y^2+6y-1\le0.
\]
\[
-9y^2+6y-1=-(9y^2-6y+1)=-(3y-1)^2\le0.
\]
Квадрат неотрицателен, а перед ним стоит минус, поэтому выражение всегда неположительно. Равенство достигается при \(y=\frac13\).
№ 126
Пусть \(x\) — меньшая сторона прямоугольника, тогда большая сторона: \[ x+7. \]
Площадь: \[ S=x(x+7). \] По условию: \[ x(x+7)<60. \]
Решаем: \[ x^2+7x-60<0, \] \[ (x-5)(x+12)<0. \]
Корни: \(-12\) и \(5\). Парабола ветвями вверх, значит, выражение отрицательно между корнями: \[ -12<x<5. \]
Но сторона должна быть положительной, поэтому: \[ 0<x<5. \]
Тогда большая сторона: \[ 7<x+7<12. \]
Ответ: большая сторона может быть любой в интервале
\[
7<a<12\text{ см},
\]
а меньшая — в интервале
\[
0<x<5\text{ см}.
\]
Проверка: при большей стороне \(10\) см меньшая равна \(3\) см, площадь \(30<60\). При \(12\) см и \(5\) см площадь уже равна \(60\), а это не подходит.
