номер 265
Краткий ответ:
а) 3 решения; б) 2 решения; в) 2 решения.
Общий принцип: решение системы — это точки пересечения графиков двух уравнений. Поэтому сначала узнаём вид графиков, делаем эскиз, затем для проверки можно подставить одно уравнение в другое.
а)
\[ \begin{cases} y=x^3,\\ y=15x \end{cases} \] Графики: кубическая парабола \(y=x^3\) и прямая \(y=15x\), проходящая через начало координат.
\[
x^3=15x \quad\Rightarrow\quad x(x^2-15)=0
\]
\[
x=0,\quad x=\pm\sqrt{15}
\]
Три различных значения \(x\), значит, три точки пересечения.
Ответ: 3 решения.
б)
\[ \begin{cases} xy=10,\\ y=x \end{cases} \] Графики: гипербола \(y=\frac{10}{x}\) и прямая \(y=x\).
\[
x\cdot x=10 \quad\Rightarrow\quad x^2=10
\]
\[
x=\pm\sqrt{10}
\]
Получаем две точки:
\[
(\sqrt{10};\sqrt{10}),\quad (-\sqrt{10};-\sqrt{10})
\]
Ответ: 2 решения.
в)
\[ \begin{cases} x^2+y^2=36,\\ y=x^2+3 \end{cases} \] Графики: окружность радиуса \(6\) с центром в начале координат и парабола \(y=x^2+3\) с вершиной \((0;3)\).
Из второго уравнения:
\[
x^2=y-3
\]
Подставляем в первое:
\[
(y-3)+y^2=36
\]
\[
y^2+y-39=0
\]
\[
y=\frac{-1\pm\sqrt{157}}{2}
\]
Корни примерно:
\[
y_1\approx5{,}77,\qquad y_2\approx-6{,}77
\]
Но у параболы \(y=x^2+3\) всегда \(y\ge3\), поэтому подходит только \(y_1\approx5{,}77\). Ему соответствуют два значения:
\[
x=\pm\sqrt{y_1-3}
\]
То есть парабола пересекает окружность в двух симметричных точках.
Ответ: 2 решения.
Итог:
\[
\boxed{\text{а) }3;\quad \text{б) }2;\quad \text{в) }2}
\]
