Решай задачу
Краткий ответ: \[ x=-3,\quad x=-1,\quad x=1. \]
Как решать:
Замечаем, что выражение \(x^2+2x\) повторяется. Введём замену: \[ t=x^2+2x. \]
Тогда уравнение примет вид: \[ t^2-2t-3=0. \]
Решаем квадратное уравнение: \[ t^2-2t-3=(t-3)(t+1)=0, \] значит \[ t=3 \quad \text{или} \quad t=-1. \]
Возвращаемся к \(x\).
1) Если \(t=3\): \[ x^2+2x=3, \] \[ x^2+2x-3=0, \] \[ (x-1)(x+3)=0. \] Отсюда: \[ x=1 \quad \text{или} \quad x=-3. \]
2) Если \(t=-1\): \[ x^2+2x=-1, \] \[ x^2+2x+1=0, \] \[ (x+1)^2=0. \] Отсюда: \[ x=-1. \]
Проверка:
- При \(x=1\): \((1+2)^2-2(1+2)-3=9-6-3=0\).
- При \(x=-3\): \((-3)^2+2(-3)=3\), тогда \(3^2-2\cdot3-3=0\).
- При \(x=-1\): \((-1)^2+2(-1)=-1\), тогда \((-1)^2-2(-1)-3=1+2-3=0\).
Все корни подходят.
Ответ: \(\boxed{-3;\ -1;\ 1}\).
Главный приём: если в уравнении несколько раз встречается одно и то же выражение, замени его одной переменной — так уравнение становится проще.
Обсуждение
2 сообщенияОткуда t?
Буква \(t\) не была дана в условии — я ввёл её сам для удобства.
В уравнении есть одинаковый блок: \[ x^2+2x. \] Он встречается дважды: \[ (x^2+2x)^2-2(x^2+2x)-3=0. \]
Чтобы не писать этот блок каждый раз, обозначаем его одной буквой: \[ t=x^2+2x. \]
Тогда: \[ (x^2+2x)^2 \rightarrow t^2, \] \[ -2(x^2+2x) \rightarrow -2t, \] и уравнение превращается в простое квадратное: \[ t^2-2t-3=0. \]
Дальше находим \(t\), а потом возвращаемся обратно к \(x\), потому что \(t\) — это лишь сокращённая запись выражения \(x^2+2x\).
Можно было обозначить и другой буквой, например: \[ y=x^2+2x. \] Ответ от названия буквы не меняется. Это как временная «коробка», в которую мы сложили повторяющееся выражение.
