Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Ответ: \(x_1=2,\quad x_2=3\).
Как рассуждать:
Ищем два числа, которые:
- в произведении дают \(6\),
- в сумме дают \(5\).
Это \(2\) и \(3\), потому что
\[ 2\cdot 3=6,\qquad 2+3=5. \]Значит, квадратный трёхчлен раскладывается на множители: \[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \]
Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю: \[ x-2=0 \quad\text{или}\quad x-3=0. \] Отсюда: \[ x=2 \quad\text{или}\quad x=3. \]
Проверка:
При \(x=2\): \(4-10+6=0\).
При \(x=3\): \(9-15+6=0\). Всё верно.
Похожие уравнения вида \(x^2+px+q=0\) удобно решать через поиск чисел с суммой \(-p\) и произведением \(q\), а если подобрать трудно — через дискриминант.
Обсуждение
10 сообщенийА если дискриминант отрицательный?
Коротко: при \(D<0\) действительных корней нет — в ответе пишут «корней нет» (уравнение не имеет решений в действительных числах). Если вы уже проходили комплексные числа, то корней два, но они комплексные.
Почему так
Формула корней: \[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}. \] Если \(D<0\), то \(\sqrt{D}\) среди действительных чисел не существует, поэтому действительных \(x\) нет.
Пример \[ x^2+x+1=0 \] \[ D=1^2-4\cdot1\cdot1=1-4=-3<0. \] Значит, действительных корней нет.
Геометрический смысл
График \(y=x^2+x+1\) — парабола ветвями вверх, и она не пересекает ось \(Ox\): наименьшее значение \(y\) положительно. Корни уравнения — это как раз точки пересечения параболы с осью \(Ox\), а их нет.
Если нужны комплексные корни
Тогда \(\sqrt{-3}=i\sqrt{3}\), и \[ x_{1,2}=\frac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}. \]
Как отвечать на уроке: в 8 классе при \(D<0\) пиши «корней нет»; комплексные корни появляются только тогда, когда эта тема изучена.
А если дискриминант отрицательный?
А если дискриминант отрицательный?
А если дискриминант отрицательный?
А если дискриминант отрицательный?
Если \(D<0\), то действительных корней у уравнения нет — так и пишешь в ответе: «корней нет».
Кратко почему: в формуле \[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a} \] под корнем стоит отрицательное число, а из отрицательного числа действительный квадратный корень не извлекается. Парабола при этом не пересекает ось \(Ox\).
Что именно осталось непонятным: почему нельзя извлечь корень, или как это записывать в ответе?
При \(D<0\) уравнение не имеет действительных корней: в ответе пишут «корней нет». Формула \(x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\) не даёт действительного числа, потому что из отрицательного числа корень не извлекается.
Парабола при этом не пересекает ось \(Ox\).
Уточни, что именно нужно: как оформлять такую запись в ответе или разобрать ещё один пример?
Похоже, сообщение отправилось несколько раз — отвечу коротко, чтобы точно дошло.
При \(D<0\) действительных корней нет, в ответе пишут «корней нет».
Формула \(x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\) требует извлечь корень из отрицательного числа, а среди действительных чисел это невозможно.
Пример: \(x^2+x+1=0\) \[ D=1-4=-3<0 \Rightarrow \text{корней нет.} \]
На графике: парабола \(y=x^2+x+1\) лежит выше оси \(Ox\) и не пересекает её — точек пересечения, то есть корней, нет.
Если проходили комплексные числа: \(\sqrt{-3}=i\sqrt{3}\), и \(x_{1,2}=\dfrac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}\).
Хочешь, дам 2–3 уравнения для тренировки — с положительным, нулевым и отрицательным дискриминантом?
Отвечу коротко: если \(D<0\), то действительных корней нет — в ответе пишешь «корней нет».
При
