2вариант
Краткие ответы
а) \(8\frac34\cdot1\frac3{14}=10\frac58=10,625\);
б) \(\dfrac{3,5+1,9}{2,4}=2,25=2\frac14\).- \(x^7\cdot x^{-4}=x^3\);
- \(x^7:x^{-4}=x^{11}\);
- \((x^7)^{-4}=x^{-28}=\dfrac1{x^{28}}\);
- \(\dfrac{(x^7)^{-4}}{x^{20}}=x^{-48}=\dfrac1{x^{48}}\).
\(x=\dfrac67\).
\(32,4\) кг цемента.
\(180\) новых рельсов.
\(320\) кг картофеля.
Как понять принцип
Дроби. Переводим смешанные числа в неправильные: \[ 8\frac34=\frac{35}{4},\qquad 1\frac3{14}=\frac{17}{14}. \] Затем умножаем: \[ \frac{35}{4}\cdot\frac{17}{14}=\frac{85}{8}=10\frac58. \] В пункте б) сначала выполняем действие в числителе: \[ \frac{3,5+1,9}{2,4}=\frac{5,4}{2,4}=2,25. \]
Свойства степеней.
- При умножении показатели складываются: \(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\).
- При делении вычитаются: \(a^m:a^n=a^{m-n}\).
- При возведении степени в степень показатели перемножаются: \((a^m)^n=a^{mn}\).
- Отрицательная степень: \(a^{-n}=\dfrac1{a^n}\).
Поэтому: \[ x^7\cdot x^{-4}=x^{7+(-4)}=x^3, \] \[ x^7:x^{-4}=x^{7-(-4)}=x^{11}, \] \[ (x^7)^{-4}=x^{-28}, \] \[ \frac{x^{-28}}{x^{20}}=x^{-28-20}=x^{-48}. \]
Уравнение-пропорция. Переведём числа в неправильные дроби: \[ 1\frac79=\frac{16}{9},\quad 5\frac49=\frac{49}{9},\quad 2\frac58=\frac{21}{8}. \] Получаем: \[ \frac{16}{9}:x=\frac{49}{9}:\frac{21}{8}. \] Правая часть: \[ \frac{49}{9}:\frac{21}{8}=\frac{49}{9}\cdot\frac{8}{21}=\frac{56}{27}. \] Значит, \[ x=\frac{16}{9}:\frac{56}{27} =\frac{16}{9}\cdot\frac{27}{56} =\frac67. \] Проверка: обе части отношения дают \(\frac{56}{27}\).
Прямая пропорциональность. Сначала узнаём расход на один блок: \[ 16,8:14=1,2\text{ кг}. \] На 27 блоков: \[ 1,2\cdot27=32,4\text{ кг}. \]
Обратная пропорциональность. Общая длина всех старых рельсов: \[ 240\cdot6=1440\text{ м}. \] Новых рельсов нужно: \[ 1440:8=180. \] Проверка: \(180\cdot8=1440=240\cdot6\).
Проценты. \(24,5\%=0,245\). Если \(78,4\) кг — это \(24,5\%\), то весь картофель: \[ 78,4:0,245=320\text{ кг}. \] Проверка: \(320\cdot0,245=78,4\).
Обсуждение
2 сообщенияПо изображению уточняю условие. В предыдущем ответе были две ошибки в №2: в пункте 3) степень \(4\), а не \(-4\), а в пункте 4) в числителе есть множитель \(x^{17}\).
Исправленные ответы
а) \(8\frac34\cdot1\frac3{14}=10\frac58=10,625\);
б) \(\dfrac{3,5+1,9}{2,4}=2,25\).
- \(x^7\cdot x^{-4}=x^3\);
- \(x^7:x^{-4}=x^{11}\);
- \((x^7)^4=x^{28}\);
- \(\dfrac{(x^7)^{-4}\cdot x^{17}}{x^{20}}=x^{-31}=\dfrac1{x^{31}}\).
\(x=\dfrac67\).
\(32,4\) кг цемента.
\(180\) новых рельсов.
\(320\) кг картофеля.
Что исправить в №2
- При возведении степени в степень показатели перемножаются:
\[ (x^7)^4=x^{7\cdot4}=x^{28}. \]
- Сначала складываем показатели в числителе:
\[ (x^7)^{-4}\cdot x^{17}=x^{-28}\cdot x^{17}=x^{-28+17}=x^{-11}. \]
Затем делим на \(x^{20}\):
\[ \frac{x^{-11}}{x^{20}}=x^{-11-20}=x^{-31}. \]
Остальные задания решены верно.
