Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Краткий ответ

$$x^2-5x+6=0 \quad\Rightarrow\quad x_1=2,; x_2=3$$

(Небольшое уточнение: само задание — по математике, хотя в карточке указан русский язык. Решаю то, что дано в задании.)

Как рассуждать

Способ 1. Разложение на множители (самый наглядный).

Ищем два числа, у которых:

• произведение равно свободному члену: \(2\cdot 3 = 6\);
• сумма равна числу с противоположным знаком перед \(x\): \(2+3=5\).

Такие числа — 2 и 3. Значит, квадратный трёхчлен раскладывается так:

$$x^2-5x+6=(x-2)(x-3).$$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю:

$$x-2=0 ;\text{или}; x-3=0 \quad\Rightarrow\quad x=2 ;\text{или}; x=3.$$

Способ 2. Через теорему Виета. Для уравнения \(x^2+px+q=0\) корни удовлетворяют \(x_1+x_2=-p\), \(x_1x_2=q\). Здесь \(p=-5,\ q=6\), то есть сумма корней 5, произведение 6 → корни 2 и 3.

Способ 3. Через дискриминант (работает всегда, даже когда корни «некрасивые»):

$$D=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1,\qquad x=\frac{5\pm\sqrt{1}}{2}=\frac{5\pm1}{2}.$$

Получаем \(x_1=\frac{6}{2}=3\), \(x_2=\frac{4}{2}=2\).

Проверка

• \(x=2\): \(4-10+6=0\) ✔
• \(x=3\): \(9-15+6=0\) ✔

Принцип для похожих заданий

1. Убедись, что уравнение приведённое (\(a=1\)). Если нет — раздели всё на \(a\).
2. Ищи два числа с суммой \(-p\) и произведением \(q\) — это корни.
3. Если числа не подбираются — считай дискриминант: \(D>0\) два корня, \(D=0\) один, \(D<0\) корней нет.
4. Всегда подставляй найденные корни обратно — это ловит ошибки в знаках.