Конспект
Краткий ответ — конспект
1. Сила при движении по окружности При равномерном движении по окружности ускорение центростремительное: $a_ц=\dfrac{v^2}{R}$. По II закону Ньютона $$F=ma_ц=\frac{mv^2}{R}.$$ Сила направлена к центру окружности. Её роль может играть сила упругости (нить), тяготения и т. д. Если сила исчезнет, тело полетит по касательной.
2. Как открывали закон
- Коперник — гелиоцентрическая система (планеты вращаются вокруг Солнца).
- Кеплер — по наблюдениям Тихо Браге установил законы движения планет, но причину не объяснил.
- Ньютон — 1666 г. гипотеза (яблоко и Луна — одна и та же сила), 1687 г. — сформулировал и опубликовал закон.
3. Закон всемирного тяготения $$F=G\frac{m_1m_2}{R^2}$$ Два тела притягиваются с силой, прямо пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними.
4. Гравитационная постоянная $$G=6{,}67\cdot10^{-11}\ \text{Н}\cdot\text{м}^2/\text{кг}^2$$ Одинакова для всех тел; численно равна силе притяжения двух тел по 1 кг на расстоянии 1 м. Впервые измерена Кавендишем (XVIII в., крутильные весы).
5. Ускорение свободного падения $$F=G\frac{Mm}{R_з^2}=mg ;\Rightarrow; g=G\frac{M}{R_з^2}$$ где $M$ — масса Земли, $R_з$ — её радиус.
Почему формулы именно такие
Ключевая идея: «небесное» и «земное» — одно явление. Яблоко падает и Луна обращается вокруг Земли под действием силы одной природы. Поэтому закон можно проверить на Земле.
Почему $1/R^2$? Ньютон исходил из того, что при увеличении расстояния в 2 раза притяжение слабеет в $2^2=4$ раза, в 3 раза — в 9 раз (обратная пропорциональность квадрату). Проверить это можно астрономически: расстояние до Луны ≈ 60 радиусов Земли, значит её «ускорение к Земле» должно быть в 3600 раз меньше $g$ — и расчёт совпал с наблюдениями.
Что такое $R$. Это расстояние между центрами тел (для шаров), а не между поверхностями. Для тела у поверхности Земли $R=R_з$, поэтому $R_з$ и попадает в формулу для $g$.
Почему $g$ не зависит от массы тела. В выражении $F=G\dfrac{Mm}{R^2}$ масса тела $m$ стоит в числителе, а во II закон Ньютона $F=ma$ она же — в знаменателе. При делении $m$ сокращается: тяжёлое и лёгкое тела падают одинаково.
Проверка
Проверим единицы измерения $g$: $$\left[G\frac{M}{R^2}\right]=\frac{\text{Н}\cdot\text{м}^2}{\text{кг}^2}\cdot\frac{\text{кг}}{\text{м}^2}=\frac{\text{Н}}{\text{кг}}=\frac{\text{кг}\cdot\text{м}/\text{с}^2}{\text{кг}}=\text{м}/\text{с}^2.$$ Верно — это ускорение.
Численно: $g=6{,}67\cdot10^{-11}\cdot\dfrac{6\cdot10^{24}}{(6{,}4\cdot10^6)^2}\approx 9{,}8\ \text{м}/\text{с}^2$ — совпадает с табличным значением. Значит и формула закона, и подстановка $R=R_з$ сделаны правильно.
Обсуждение
2 сообщенияЭто же не кратко, напишите без пунктов
При равномерном движении по окружности ускорение направлено к центру и равно $a_ц=\dfrac{v^2}{R}$, поэтому действующая на тело сила $F=ma_ц=\dfrac{mv^2}{R}$ тоже направлена к центру; если она исчезнет, тело полетит по касательной. Коперник поместил Солнце в центр мира, Кеплер по наблюдениям Тихо Браге вывел законы движения планет, но причину не объяснил, а Ньютон в 1666 г. предположил, что яблоко и Луна движутся под действием одной и той же силы, и в 1687 г. сформулировал закон всемирного тяготения: $F=G\dfrac{m_1m_2}{R^2}$ — два тела притягиваются с силой, прямо пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между их центрами. Коэффициент $G=6{,}67\cdot10^{-11}\ \text{Н}\cdot\text{м}^2/\text{кг}^2$ одинаков для всех тел и численно равен силе притяжения двух тел по 1 кг на расстоянии 1 м; его измерил Кавендиш с помощью крутильных весов. Для тела у поверхности Земли $F=G\dfrac{Mm}{R_з^2}=mg$, откуда $g=G\dfrac{M}{R_з^2}\approx9{,}8\ \text{м}/\text{с}^2$: масса тела сокращается, поэтому все тела падают с одинаковым ускорением.
