Реши задание на изображении

Кратко:

1. \(f(-2)=0\)
2. \(D(f)=(-\infty;\,5]\)
3. Функция ни чётная, ни нечётная
4. \(f(x)>0\) при \(x\in\left(-\frac32;\,2\right)\);
   \(f(x)<0\) при \(x\in\left(-\infty;\,-\frac32\right)\cup(2;\,+\infty)\);
   \(f(x)=0\) при \(x=-\frac32\) и \(x=2\).

Как решать

1. Подставляем \(x_0=-2\): \[ f(-2)=(-2)^4-4(-2)^2=16-4\cdot 4=16-16=0. \]

2. Под корнем должно быть неотрицательное число: \[ 10-2x\ge 0 \quad\Rightarrow\quad -2x\ge -10 \quad\Rightarrow\quad x\le 5. \] Значит, \[ D(f)=(-\infty;5]. \]

3. Проверяем \(f(-x)\): \[ f(-x)=\frac{3}{(-x)^3+2}=\frac{3}{2-x^3}. \] Это не равно \(f(x)=\frac{3}{x^3+2}\) и не равно \(-f(x)\).
   Кроме того, область определения не симметрична относительно нуля, поэтому функция не может быть чётной или нечётной.
   Ответ: ни чётная, ни нечётная.

4. Находим нули: \[ (2-x)(2x+3)=0 \] \[ x=2,\qquad 2x+3=0\Rightarrow x=-\frac32. \] Отмечаем эти точки на числовой прямой и проверяем знак:

• при \(x=0\): \(f(0)=2\cdot 3>0\);
• при \(x=3\): \(f(3)=(-1)\cdot 9<0\);
• при \(x=-2\): \(f(-2)=4\cdot(-1)<0\).

Получаем: \[ f(x)>0 \text{ на } \left(-\frac32;2\right), \] \[ f(x)<0 \text{ на } \left(-\infty;-\frac32\right)\cup(2;+\infty). \]