Конспект

Краткий ответ

Конспект параграфа: два тела притягиваются друг к другу с силой

\[ F=G\frac{m_1m_2}{r^2}, \]

где \(G=6{,}67\cdot10^{-11}\ \text{Н}\cdot\text{м}^2/\text{кг}^2\), а \(r\) — расстояние между центрами тел. Сила прямо пропорциональна произведению масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния. У поверхности Земли

\[ mg=G\frac{M_Зm}{R_З^2}, \]

откуда

\[ g=G\frac{M_З}{R_З^2}. \]

Конспект

1. Формулировка закона.
   Два тела притягиваются с силой, прямо пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними: \[ F=G\frac{m_1m_2}{r^2}. \] Сила направлена вдоль линии, соединяющей центры тел. Силы взаимного притяжения равны по модулю и противоположны по направлению.

2. Обозначения и единицы.
   \(F\) — сила притяжения, Н;
   \(m_1,m_2\) — массы тел, кг;
   \(r\) — расстояние между центрами тел, м;
   \(G\) — гравитационная постоянная.

3. Гравитационная постоянная.
   \[ G=6{,}67\cdot10^{-11}\ \text{Н}\cdot\text{м}^2/\text{кг}^2. \] Она одинакова для всех тел. Численно \(G\) равна силе притяжения двух тел массами по \(1\) кг на расстоянии \(1\) м. Впервые \(G\) измерил Кавендиш с помощью крутильных весов.

4. Границы применимости.
   Формула справедлива для материальных точек. Для шаров \(r\) — расстояние между их центрами. Для тела у поверхности Земли \(r\approx R_З\); на высоте \(h\) нужно брать \(r=R_З+h\).

5. Сила тяжести и ускорение свободного падения.
   У поверхности Земли: \[ F_{\text{тяж}}=G\frac{M_Зm}{R_З^2}=mg, \] поэтому \[ g=G\frac{M_З}{R_З^2}\approx 9{,}8\ \text{м/с}^2. \]

6. Движение по окружности.
   При равномерном движении по окружности радиуса \(R\): \[ F=ma_{\text{ц}}=\frac{mv^2}{R}. \] Сила направлена к центру окружности. Роль центростремительной силы может играть гравитация — так движутся планеты вокруг Солнца и спутники вокруг Земли. Если сила исчезнет, тело будет двигаться по касательной.

7. Историческая часть.
   Коперник предложил гелиоцентрическую систему; Кеплер установил законы движения планет; Ньютон сформулировал закон всемирного тяготения, опубликованный в 1687 г. Идея Ньютона: та же сила, которая заставляет падать яблоко, удерживает Луну и планеты на орбитах.

Как понять принцип

• Почему произведение масс?
  Притягиваются оба тела. Если массу одного тела увеличить в 2 раза, сила тоже увеличится в 2 раза; если обе массы увеличить в 2 раза, сила возрастёт в 4 раза.

• Почему квадрат расстояния?
  Если расстояние увеличить в 2 раза, сила уменьшится в \(2^2=4\) раза; если в 3 раза — в \(3^2=9\) раз.

• Почему \(g\) не зависит от массы падающего тела?
  В уравнении \(mg=G\frac{M_Зm}{R_З^2}\) масса \(m\) сокращается. Поэтому все тела у поверхности Земли падают с одинаковым ускорением, если не учитывать сопротивление воздуха.

• Что часто путают?
  \(r\) — это расстояние между центрами тел, а не между поверхностями. На высоте \(h\) расстояние уже \(R_З+h\), поэтому сила тяжести там меньше.

• Проверка формулы.
  Размерность: \[ \frac{\text{Н}\cdot\text{м}^2}{\text{кг}^2}\cdot \frac{\text{кг}^2}{\text{м}^2}=\text{Н}. \] Значит, формула действительно даёт силу. Если \(m_1=m_2=1\) кг, а \(r=1\) м, то \(F=G\), что совпадает с определением гравитационной постоянной.