Объясни как решать и оформлять в формате ОГЭ

Краткий ответ:
\[ x=0{,}8 \quad \text{или} \quad x=1{,}5 \] то есть \[ x_1=\frac45,\qquad x_2=\frac32. \]

Как решать

В уравнении повторяется выражение \(\frac{1}{x-1}\), а первый член — его квадрат: \[ \frac{1}{(x-1)^2}+\frac{3}{x-1}-10=0. \] Поэтому удобно сделать замену.

Образец оформления в бланке ОГЭ

Решение.

ОДЗ: \[ x-1\ne 0 \quad\Rightarrow\quad x\ne 1. \]

Пусть \[ t=\frac{1}{x-1}. \] Тогда \[ t^2+3t-10=0. \]

Решаем квадратное уравнение: \[ D=3^2-4\cdot 1\cdot(-10)=9+40=49, \] \[ t=\frac{-3\pm 7}{2}. \] Значит, \[ t_1=2,\qquad t_2=-5. \]

Возвращаемся к \(x\):

1. Если \(t=2\): \[ \frac{1}{x-1}=2 \] \[ x-1=\frac12 \] \[ x=\frac32=1{,}5. \]

2. Если \(t=-5\): \[ \frac{1}{x-1}=-5 \] \[ x-1=-\frac15 \] \[ x=\frac45=0{,}8. \]

Оба корня удовлетворяют условию \(x\ne 1\).

Ответ: \(0{,}8;\ 1{,}5\).

Проверка

Для \(x=1{,}5\): \[ \frac{1}{0{,}5^2}+\frac{3}{0{,}5}-10=4+6-10=0. \]

Для \(x=0{,}8\): \[ \frac{1}{(-0{,}2)^2}+\frac{3}{-0{,}2}-10=25-15-10=0. \]

Оба корня подходят.

Главная идея: если в уравнении есть дробь и её квадрат, часто помогает замена \(t=\frac{1}{x-1}\). После решения квадратного уравнения обязательно нужно вернуться к исходной переменной и учесть ОДЗ.