реши подробно и в формате ОГЭ

Краткий ответ: \(x=\dfrac56;\ \dfrac32\).

Решение (формат ОГЭ)

Уравнение: \[ \frac{1}{(x-1)^2}+\frac{4}{x-1}-12=0 \]

ОДЗ: \(x-1\ne0\), то есть \(x\ne1\).

Замена. Заметим, что \(\dfrac{1}{x-1}\) встречается в уравнении дважды. Пусть \[ t=\frac{1}{x-1}. \] Тогда \[ \frac{1}{(x-1)^2}=t^2. \] Получаем квадратное уравнение: \[ t^2+4t-12=0. \] Находим корни: \[ D=4^2-4\cdot1\cdot(-12)=16+48=64, \] \[ t=\frac{-4\pm8}{2}. \] Значит, \[ t_1=2,\qquad t_2=-6. \]

Обратная замена.

1. Если \(t=2\): \[ \frac{1}{x-1}=2 \quad\Rightarrow\quad x-1=\frac12 \quad\Rightarrow\quad x=\frac32. \]

2. Если \(t=-6\): \[ \frac{1}{x-1}=-6 \quad\Rightarrow\quad x-1=-\frac16 \quad\Rightarrow\quad x=\frac56. \]

Оба значения не равны \(1\), значит, ОДЗ выполнено.

Проверка.

• При \(x=\frac32\): \(x-1=\frac12\), тогда \(4+8-12=0\).
• При \(x=\frac56\): \(x-1=-\frac16\), тогда \(36-24-12=0\).

Всё верно.

Ответ: \(\boxed{\frac56;\ \frac32}\).

Что важно понять

Приём с заменой помогает свести сложное дробное уравнение к обычному квадратному. Главное — после обратной замены обязательно проверить ОДЗ: знаменатель не должен обращаться в нуль. Здесь оба корня подходят.