решила подробно и в формате огэ
Краткий ответ
\[ \text{№2: }x=-1;\ \frac14 \] \[ \text{№3: }x=\frac32;\ \frac73 \] \[ \text{№4: }x=2;\ \frac{13}{4} \]
Главный приём
В уравнениях есть выражения вида
\[ \frac1{x-a}\quad\text{и}\quad\frac1{(x-a)^2}. \]
Заметим, что
\[ \frac1{(x-a)^2}=\left(\frac1{x-a}\right)^2. \]
Поэтому удобно ввести замену
\[ t=\frac1{x-a}. \]
Сначала записываем ОДЗ: \(x\ne a\). После решения квадратного уравнения возвращаемся к \(x\) и проверяем, что корни не запрещены.
№2
\[ \frac1{x^2}-\frac3x-4=0 \]
ОДЗ:
\[ x\ne0 \]
Пусть
\[ t=\frac1x. \]
Тогда уравнение принимает вид
\[ t^2-3t-4=0. \]
Решим его:
\[ D=(-3)^2-4\cdot1\cdot(-4)=9+16=25 \]
\[ t_{1,2}=\frac{3\pm5}{2} \]
\[ t_1=4,\qquad t_2=-1 \]
Возвращаемся к \(x\):
\[ \frac1x=4 \Rightarrow x=\frac14 \]
\[ \frac1x=-1 \Rightarrow x=-1 \]
Оба значения не равны нулю, то есть подходят.
Ответ:
\[ -1;\ \frac14 \]
№3
\[ \frac1{(x-2)^2}-\frac1{x-2}-6=0 \]
ОДЗ:
\[ x-2\ne0 \Rightarrow x\ne2 \]
Пусть
\[ t=\frac1{x-2}. \]
Тогда
\[ \frac1{(x-2)^2}=t^2. \]
Получаем уравнение
\[ t^2-t-6=0. \]
Решаем:
\[ D=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-6)=1+24=25 \]
\[ t_{1,2}=\frac{1\pm5}{2} \]
\[ t_1=3,\qquad t_2=-2 \]
Возвращаемся к \(x\).
Первый случай:
\[ \frac1{x-2}=3 \]
\[ x-2=\frac13 \]
\[ x=2+\frac13=\frac73 \]
Второй случай:
\[ \frac1{x-2}=-2 \]
\[ x-2=-\frac12 \]
\[ x=2-\frac12=\frac32 \]
Оба корня не равны \(2\), поэтому подходят.
Ответ:
\[ \frac32;\ \frac73 \]
№4
\[ \frac1{(x-3)^2}-\frac3{x-3}-4=0 \]
ОДЗ:
\[ x-3\ne0 \Rightarrow x\ne3 \]
Пусть
\[ t=\frac1{x-3}. \]
Тогда
\[ t^2-3t-4=0. \]
Это уравнение мы уже решали в №2:
\[ t_1=4,\qquad t_2=-1 \]
Возвращаемся к \(x\).
Первый случай:
\[ \frac1{x-3}=4 \]
\[ x-3=\frac14 \]
\[ x=3+\frac14=\frac{13}{4} \]
Второй случай:
\[ \frac1{x-3}=-1 \]
\[ x-3=-1 \]
\[ x=2 \]
Оба корня не равны \(3\), поэтому подходят.
Ответ:
\[ 2;\ \frac{13}{4} \]
Проверка
Для №4 подставим \(x=2\):
\[ \frac1{(2-3)^2}-\frac3{2-3}-4 = 1+3-4=0. \]
Верно.
Для \(x=\frac{13}{4}\):
\[ x-3=\frac14, \]
поэтому
\[ \frac1{(1/4)^2}-\frac3{1/4}-4 = 16-12-4=0. \]
Тоже верно.
Короткий итог: такие задания решаются заменой \(t=\frac1{x-a}\), затем решается обычное квадратное уравнение, а после этого находится \(x\). Главное — не забыть про ОДЗ.
