Реши с дано найти решение а также с рисунком
Краткие ответы:
- \(99^\circ\)
- \(17\) и \(17\); в бланк: 1717
- \(45^\circ\)
- \(140^\circ\)
- \(15\)
- \(22\)
- \(2\)
- \(56^\circ\)
- \(110^\circ\)
- \(78^\circ\)
Рисунки ниже можно перенести в тетрадь по подписям; для трапеций \(AD\parallel BC\).
1
Дано: \(ABCD\) — равнобедренная трапеция, \(\angle D=54^\circ\), \(AC\) — биссектриса \(\angle BAD\).
Найти: \(\angle ACD\).
Рисунок: \(AD\) — нижнее основание, \(BC\) — верхнее; проведена диагональ \(AC\).
Решение:
В равнобедренной трапеции углы при основании \(AD\) равны:
\[
\angle A=\angle D=54^\circ.
\]
Так как \(AC\) — биссектриса:
\[
\angle CAD=\frac{54^\circ}{2}=27^\circ.
\]
В треугольнике \(ACD\):
\[
\angle ACD=180^\circ-27^\circ-54^\circ=99^\circ.
\]
Ответ: \(99^\circ\).
2
Дано: ромб, сторона \(a=34\), острый угол \(60^\circ\).
Найти: отрезки, на которые высота из тупого угла делит сторону.
Рисунок: ромб \(ABCD\), \(\angle A=60^\circ\), \(BH\perp AD\), \(H\in AD\).
Решение:
Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABH\). В нём:
\[
AH=AB\cos60^\circ=34\cdot \frac12=17.
\]
Вся сторона \(AD=34\), значит:
\[
HD=34-17=17.
\]
То есть сторона делится пополам.
Ответ: \(17\) и \(17\); в порядке возрастания без пробелов: 1717.
3
Дано: параллелограмм \(ABCD\), диагональ \(BD\) образует со сторонами углы \(50^\circ\) и \(85^\circ\).
Найти: меньший угол параллелограмма.
Рисунок: параллелограмм \(ABCD\), проведена диагональ \(BD\); углы при вершине \(B\) равны \(50^\circ\) и \(85^\circ\).
Решение:
Диагональ лежит внутри угла \(B\), поэтому:
\[
\angle ABC=50^\circ+85^\circ=135^\circ.
\]
Соседний угол параллелограмма:
\[
180^\circ-135^\circ=45^\circ.
\]
Ответ: \(45^\circ\).
4
Дано: равнобедренная трапеция \(ABCD\), \(AC\) — диагональ,
\(\angle CAD=17^\circ\), \(\angle BAC=23^\circ\).
Найти: больший угол трапеции.
Рисунок: трапеция \(ABCD\), \(AD\parallel BC\), проведена \(AC\).
Решение:
\[
\angle BAD=23^\circ+17^\circ=40^\circ.
\]
В равнобедренной трапеции углы при основании \(AD\) равны, значит:
\[
\angle A=\angle D=40^\circ.
\]
Тогда верхние углы:
\[
180^\circ-40^\circ=140^\circ.
\]
Больший угол равен \(140^\circ\).
Ответ: \(140^\circ\).
5
Дано: параллелограмм \(ABCD\), диагонали пересекаются в \(O\),
\(AC=26\), \(BD=30\), \(AB=7\).
Найти: \(DO\).
Рисунок: параллелограмм с диагоналями \(AC\) и \(BD\), точка пересечения \(O\).
Решение:
Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам:
\[
DO=\frac{BD}{2}=\frac{30}{2}=15.
\]
Данное \(AB=7\) здесь лишнее.
Ответ: \(15\).
6
Дано: прямоугольник \(ABCD\), диагонали пересекаются в \(O\),
\(BO=11\), \(AB=10\).
Найти: \(AC\).
Рисунок: прямоугольник с диагоналями \(AC\) и \(BD\), \(O\) — их пересечение.
Решение:
В прямоугольнике диагонали равны и делятся пополам:
\[
BD=2BO=2\cdot 11=22.
\]
Значит:
\[
AC=BD=22.
\]
\(AB=10\) — лишнее данное.
Ответ: \(22\).
7
Дано: ромб, сторона \(a=4\), один угол \(150^\circ\).
Найти: высоту ромба.
Рисунок: ромб с высотой \(h\), проведённой к стороне.
Решение:
Смежный с \(150^\circ\) угол равен:
\[
180^\circ-150^\circ=30^\circ.
\]
Высота ромба:
\[
h=a\sin30^\circ=4\cdot \frac12=2.
\]
Ответ: \(2\).
8
Дано: параллелограмм \(ABCD\), биссектриса угла \(A\) образует со стороной \(BC\) угол \(28^\circ\).
Найти: острый угол параллелограмма.
Рисунок: \(AE\) — биссектриса \(\angle A\), точка \(E\) лежит на \(BC\).
Решение:
Так как \(AD\parallel BC\), угол между биссектрисой и \(BC\) равен углу между биссектрисой и \(AD\):
\[
\angle DAE=28^\circ.
\]
Но \(AE\) — биссектриса, значит весь угол \(A\) в два раза больше:
\[
\angle A=2\cdot 28^\circ=56^\circ.
\]
Угол \(56^\circ\) острый.
Ответ: \(56^\circ\).
9
Дано: равнобедренная трапеция \(ABCD\),
\(\angle CAD=30^\circ\), \(\angle ACD=80^\circ\).
Найти: \(\angle ABC\).
Рисунок: трапеция \(ABCD\), \(AD\parallel BC\), проведена диагональ \(AC\).
Решение:
В треугольнике \(ACD\):
\[
\angle ADC=180^\circ-30^\circ-80^\circ=70^\circ.
\]
В равнобедренной трапеции углы при основании \(AD\) равны, поэтому:
\[
\angle BAD=70^\circ.
\]
Углы \(A\) и \(B\) при боковой стороне \(AB\) дают в сумме \(180^\circ\):
\[
\angle ABC=180^\circ-70^\circ=110^\circ.
\]
Ответ: \(110^\circ\).
10
Дано: прямоугольник \(ABCD\), диагональ образует со стороной угол \(51^\circ\).
Найти: острый угол между диагоналями.
Рисунок: прямоугольник, диагонали пересекаются в \(O\); \(\angle OAD=51^\circ\).
Решение:
В прямоугольнике диагонали равны и делятся пополам, поэтому:
\[
OA=OD.
\]
Значит треугольник \(AOD\) равнобедренный. Углы при основании:
\[
\angle OAD=\angle ODA=51^\circ.
\]
Тогда угол при вершине \(O\):
\[
\angle AOD=180^\circ-51^\circ-51^\circ=78^\circ.
\]
Это и есть острый угол между диагоналями.
Ответ: \(78^\circ\).
Главное, что нужно запомнить:
- в равнобедренной трапеции углы при основании равны;
- диагонали параллелограмма и прямоугольника делятся пополам, а у прямоугольника ещё и равны;
- высоту ромба удобно искать через прямоугольный треугольник: \(h=a\sin\alpha\).
Обсуждение
4 сообщенияВо 2 задачи что значит cos60
В задаче 2 \( \cos 60^\circ \) появляется из прямоугольного треугольника \(ABH\), где \(BH\) — высота ромба.
\[ \cos 60^\circ=\frac12. \]
Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение прилежащего катета к гипотенузе:
\[ \cos \angle A=\frac{AH}{AB}. \]
В этой задаче:
- \(AB=34\) — гипотенуза;
- \(AH\) — катет, прилежащий к углу \(60^\circ\);
- \(BH\) — высота, то есть противолежащий катет.
Поэтому:
\[ \frac{AH}{34}=\cos60^\circ=\frac12, \]
\[ AH=34\cdot\frac12=17. \]
Значит, высота отсекает от стороны \(AD\) отрезок \(AH=17\). Вся сторона ромба равна \(34\), поэтому:
\[ HD=34-17=17. \]
Ответ: сторона делится на отрезки \(17\) и \(17\).
Почему \(\cos60^\circ=\frac12\): если в равностороннем треугольнике провести высоту, получится прямоугольный треугольник с углами \(30^\circ\) и \(60^\circ\), и прилежащий к \(60^\circ\) катет равен половине гипотенузы.
Во 2 почему а34 а не аd34
Потому что \(a\) — это не отрезок \(AD\), а обозначение длины стороны ромба.
Если в задаче сказано \(a=34\), то у ромба все стороны равны:
\[ AB=BC=CD=AD=34. \]
То есть и \(AB=34\), и \(AD=34\).
Но в прямоугольном треугольнике \(ABH\), где \(BH\perp AD\):
\[ \cos 60^\circ=\frac{AH}{AB}. \]
Почему именно \(AB\), а не \(AD\):
в треугольнике \(ABH\) гипотенуза — это \(AB\), а \(AH\) — прилежащий катет. \(AD\) — это вся нижняя сторона ромба, а не гипотенуза треугольника \(ABH\).
Поэтому:
\[ \frac{AH}{AB}=\cos60^\circ=\frac12, \]
\[ AH=34\cdot\frac12=17. \]
А потом используем \(AD=34\):
\[ HD=AD-AH=34-17=17. \]
Итог: \(a=34\) означает, что каждая сторона ромба равна \(34\), поэтому \(AB=AD=34\). В формуле косинуса берём \(AB\), потому что это гипотенуза треугольника \(ABH\).
