Реши задачу 17 18 правильно с правильным оформлением и решением на 5

№ 17

Дано:
\(AD=12\) см, \(BC=14\) см.
Отрезки \(MN\) и \(QP\) являются средними линиями треугольника со стороной \(BC\), а \(NQ\) и \(PM\) — со стороной \(AD\).

Найти:
периметр четырёхугольника \(MNQP\).

Решение:
Средняя линия треугольника равна половине параллельной ей стороны, поэтому

\[ MN=QP=\frac{BC}{2}=\frac{14}{2}=7\text{ см}, \]

\[ NQ=PM=\frac{AD}{2}=\frac{12}{2}=6\text{ см}. \]

Тогда

\[ P_{MNQP}=MN+NQ+QP+PM= 7+6+7+6=26\text{ см}. \]

Ответ: \(26\) см.

№ 18

Дано:
\(BB_1\parallel CC_1\).
а) \(C\) — середина \(AB\), \(BB_1=7\) см.
б) \(BB_1=20\) см, \(AC:CB=3:2\).

Найти:
\(CC_1\).

Решение:
Так как \(BB_1\parallel CC_1\), то треугольники \(ABB_1\) и \(ACC_1\) подобны. Значит,

\[ \frac{CC_1}{BB_1}=\frac{AC}{AB}. \]

а)

\(C\) — середина \(AB\), поэтому

\[ \frac{AC}{AB}=\frac{1}{2}. \]

Тогда

\[ CC_1=BB_1\cdot\frac{AC}{AB} =7\cdot\frac{1}{2}=3{,}5\text{ см}. \]

б)

Если \(AC:CB=3:2\), то

\[ AB=3+2=5\text{ частей}, \]

\[ \frac{AC}{AB}=\frac{3}{5}. \]

Тогда

\[ CC_1=20\cdot\frac{3}{5}=12\text{ см}. \]

Ответ: а) \(3{,}5\) см; б) \(12\) см.

Рисунок к № 18

Схема (пропорции соблюдены: \(AC:CB=3:2\), \(CC_1:BB_1=12:20=3:5\)):

                              / B₁
                             /
                            /
                           /
                  / C₁    /
                 /       /
                /       /
               /       /
              /       /
             /       /
A-----------C-------B-----

Обозначения на рисунке:

• \(A\), \(C\), \(B\) лежат на одной прямой, причём \(AC:CB=3:2\) (для пункта а \(C\) — середина \(AB\));
• \(CC_1\parallel BB_1\);
• \(CC_1=12\) см, \(BB_1=20\) см (в пункте а: \(BB_1=7\) см, \(CC_1=3{,}5\) см);
• точки \(A\), \(C_1\), \(B_1\) также лежат на одной прямой — это получается из подобия треугольников \(ACC_1\) и \(ABB_1\).

Как построить в тетради:

1. Проведи прямую, отметь точку \(A\).
2. Отложи \(AC=3\) клетки, затем \(CB=2\) клетки.
3. Из точек \(C\) и \(B\) в одном направлении проведи параллельные отрезки: \(CC_1=6\) клеток, \(BB_1=10\) клеток (те же \(3:5\)).
4. Соедини \(C\) с \(C_1\), \(B\) с \(B_1\) — получишь два подобных треугольника \(ACC_1\) и \(ABB_1\) с общей вершиной \(A\).

Как выглядит фигура к № 18

Это классический рисунок на подобие: треугольник \(ABB_1\), внутри него треугольник \(ACC_1\), причём \(CC_1\parallel BB_1\).

Схема (не в масштабе, но форма верная):

                  B₁
                 ╱ │
              ╱    │
        C₁  ╱      │
         ╱  │      │
       ╱    │      │
     ╱      │      │
  ╱         │      │
A───────────C──────B

Что подписано на рисунке:

• \(A\), \(C\), \(B\) — на одной прямой (основание);
• \(A\), \(C_1\), \(B_1\) — на другой прямой;
• \(CC_1\parallel BB_1\);
• \(BB_1\) — снаружи, \(CC_1\) — внутри треугольника \(ABB_1\).

Пункт а) \(C\) — середина \(AB\), поэтому \(CC_1\) вдвое короче \(BB_1\) и проходит посередине:

                  B₁
                 ╱ │
              ╱    │
           ╱       │
      C₁ ╱         │
       ╱ │         │
     ╱   │         │
  ╱      │         │
A────────C─────────B

(\(AC=CB\), \(CC_1=\frac12 BB_1=3{,}5\) см)

Пункт б) \(AC:CB=3:2\), точка \(C\) ближе к \(B\), а \(CC_1=\frac35 BB_1=12\) см — это первая схема.

Как чертить в тетради:

1. Проведи отрезок \(AB\), поставь точку \(C\) так, чтобы \(AC:CB=3:2\) (в п. а — ровно посередине).
2. Из точки \(B\) проведи вверх отрезок \(BB_1\) (под наклоном вправо).
3. Через точку \(C\) проведи \(CC_1\parallel BB_1\) так, чтобы \(C_1\) лежало на прямой \(AB_1\).
4. Соедини \(A\) с \(B_1\) — точка \(C_1\) должна попасть на этот отрезок (признак того, что построение верное).

Схема одна и та же — треугольник \(ABB_1\) и отрезок \(CC_1\parallel BB_1\). Различается только положение точки \(C\) на стороне \(AB\), а значит, и длина \(CC_1\).

а) \(C\) — середина \(AB\), поэтому \(CC_1\) проходит ровно посередине:

              B₁
             ╱│
          ╱   │
       ╱      │
   C₁╱        │
    ╱│        │
  ╱  │        │
A────C────────B
   AC = CB

б) \(AC:CB=3:2\), точка \(C\) сдвинута ближе к \(B\):

              B₁
             ╱│
          ╱   │
       ╱      │
   C₁╱        │
    ╱│        │
  ╱  │        │
A───────C─────B
  AC : CB = 3 : 2

Вывод: форма рисунка одинаковая, отличие только в том, где стоит \(C\) (посередине или ближе к \(B\)). В тетради удобно начертить два рисунка — по одному на каждый пункт. Если учитель разрешает, можно сделать один рисунок с пунктирным положением \(C\) для второго случая и подписать оба.