Реши задание на изображении
На фото несколько номеров; ниже решаю № 371 — объёмы тел вращения вокруг оси \(Ox\).
Краткий ответ: \[ \text{а) }\frac{2\pi}{15};\qquad \text{б) }11\pi;\qquad \text{в) }\frac{50\pi}{3};\qquad \text{г) }\frac{\pi}{6}. \] Все значения — в кубических единицах.
Принцип. При вращении фигуры вокруг оси \(Ox\) сечение — кольцо с внешним радиусом \(R(x)\) и внутренним \(r(x)\), поэтому \[ V=\pi\int_a^b\left(R^2(x)-r^2(x)\right)\,dx. \] Границы \(a,b\) берутся из условия или из точек пересечения линий.
а) \(y=x^2,\ y=x\)
Пересечение: \[ x^2=x \Rightarrow x=0,\ x=1. \] На \([0;1]\) верхняя линия \(y=x\), нижняя \(y=x^2\): \[ V=\pi\int_0^1\left(x^2-x^4\right)dx =\pi\left(\frac13-\frac15\right) =\frac{2\pi}{15}. \]
б) \(y=2x,\ y=x+3,\ x=0,\ x=1\)
На \([0;1]\) линия \(y=x+3\) выше: \[ V=\pi\int_0^1\left((x+3)^2-(2x)^2\right)dx \] \[ =\pi\int_0^1\left(-3x^2+6x+9\right)dx =\pi\left[-x^3+3x^2+9x\right]_0^1 =11\pi. \]
в) \(y=x+2,\ y=1,\ x=0,\ x=2\)
На \([0;2]\) верхняя граница \(x+2\), нижняя \(1\): \[ V=\pi\int_0^2\left((x+2)^2-1^2\right)dx \] \[ =\pi\int_0^2\left(x^2+4x+3\right)dx =\pi\left[\frac{x^3}{3}+2x^2+3x\right]_0^2 =\frac{50\pi}{3}. \]
г) \(y=\sqrt{x},\ y=x\)
Пересечение: \[ \sqrt{x}=x \Rightarrow x=0,\ x=1. \] На \([0;1]\) линия \(\sqrt{x}\) выше: \[ V=\pi\int_0^1\left((\sqrt{x})^2-x^2\right)dx =\pi\int_0^1\left(x-x^2\right)dx \] \[ =\pi\left(\frac12-\frac13\right) =\frac{\pi}{6}. \]
Главное: при вращении вокруг \(Ox\) берём разность квадратов радиусов, а не квадрат разности функций.
Обсуждение
6 сообщенийМне нужен ещё 372,373,374,375,376
Пришлите, пожалуйста, фото или текст условий № 372–376: на доступном фрагменте я разобрал только № 371. Без самих функций, границ и подпунктов решать их наугад нельзя — как пришлёте, решу все с интегралами и проверкой.
Это продолжение задания: на фото видны условия № 372–376. Решаю их.
№ 372
а) Объём шарового сегмента радиуса \(R\) и высоты \(H\).
Сегмент получается вращением части окружности \(x^2+y^2=R^2\) вокруг оси \(Ox\). Если высота сегмента \(H\), то \(x\) меняется от \(R-H\) до \(R\). Радиус сечения: \[ y^2=R^2-x^2. \] Тогда \[ V=\pi\int_{R-H}^{R}(R^2-x^2)\,dx =\pi\left[R^2x-\frac{x^3}{3}\right]_{R-H}^{R}. \] После упрощения: \[ \boxed{V=\frac{\pi H^2}{3}(3R-H)} \]
б) Объём усечённого конуса с высотой \(H\) и радиусами оснований \(R\) и \(r\).
Образующая при вращении даёт линейную зависимость радиуса от высоты: \[ y(x)=R+\frac{r-R}{H}x,\qquad 0\le x\le H. \] Тогда \[ V=\pi\int_0^H\left(R+\frac{r-R}{H}x\right)^2dx =\frac{\pi H}{3}(R^2+Rr+r^2). \] \[ \boxed{V=\frac{\pi H}{3}(R^2+Rr+r^2)} \]
№ 373
Сила \(2\ \text{Н}\) растягивает пружину на \(1\ \text{см}=0{,}01\ \text{м}\).
Жёсткость пружины:
\[
k=\frac{F}{x}=\frac{2}{0{,}01}=200\ \text{Н/м}.
\]
Работа при растяжении на \(4\ \text{см}=0{,}04\ \text{м}\): \[ A=\int_0^{0{,}04}kx\,dx =\frac{kx^2}{2} =\frac{200\cdot0{,}04^2}{2} =0{,}16\ \text{Дж}. \]
\[ \boxed{A=0{,}16\ \text{Дж}=160\ \text{мДж}} \]
№ 374
По фото: сила \(4\ \text{Н}\) растягивает пружину на \(8\ \text{см}\).
\[
k=\frac{4}{0{,}08}=50\ \text{Н/м}.
\]
Работа при растяжении на \(8\ \text{см}=0{,}08\ \text{м}\): \[ A=\frac{kx^2}{2} =\frac{50\cdot0{,}08^2}{2} =0{,}16\ \text{Дж}. \]
\[ \boxed{A=0{,}16\ \text{Дж}} \]
Если в вашем издании во втором случае стоит \(6\ \text{см}\), то: \[ A=\frac{50\cdot0{,}06^2}{2}=0{,}09\ \text{Дж}. \]
№ 375
Пусть электрон имеет заряд \(-e\), а \(q\) — заданный заряд. Сила взаимодействия: \[ F_x=-\gamma\frac{qe}{x^2}. \] Работа электрической силы при перемещении от \(x=a\) до \(x=b\): \[ A=\int_a^b F_x\,dx =\int_a^b\left(-\gamma\frac{qe}{x^2}\right)dx. \] \[ \boxed{A=\gamma qe\left(\frac1b-\frac1a\right)} \]
Для указанных случаев:
\(a<b,\ q<0\): электрон отталкивается и движется наружу, работа положительна: \[ A=\gamma|q|e\left(\frac1a-\frac1b\right). \]
\(b<a,\ q>0\): электрон притягивается и движется к заряду, работа тоже положительна: \[ A=\gamma qe\left(\frac1b-\frac1a\right). \]
№ 376
Плотина имеет форму равнобедренной трапеции: верхнее основание \(a\), нижнее \(b\), высота \(h\), причём \(a>b\). Вода доходит до верха.
На глубине \(y\) ширина плотины: \[ w(y)=a-\frac{a-b}{h}y. \] Давление воды на глубине \(y\): \[ p=\rho gy. \] Сила давления: \[ F=\rho g\int_0^h y\left(a-\frac{a-b}{h}y\right)dy. \] Вычисляем: \[ F=\rho g\left(a\frac{h^2}{2}-(a-b)\frac{h^2}{3}\right) =\frac{\rho g h^2}{6}(a+2b). \]
\[ \boxed{F=\frac{\rho g h^2}{6}(a+2b)} \]
где \(\rho\) — плотность воды, \(g\) — ускорение свободного падения.
Как думаешь учительница не узнает что это ты написал
