Реши задание на изображении
Краткий ответ: \(AB=\sqrt{13}\).
Решение:
В треугольнике \(ABC\) угол \(C=60^\circ\) находится между сторонами \(AC=4\) и \(BC=3\). Найти нужно сторону \(AB\), поэтому применим теорему косинусов:
\[ AB^2=AC^2+BC^2-2\cdot AC\cdot BC\cdot \cos C \]
Подставляем значения:
\[ AB^2=4^2+3^2-2\cdot4\cdot3\cdot\cos60^\circ \]
\[ AB^2=16+9-24\cdot\frac12 \]
\[ AB^2=25-12=13 \]
\[ AB=\sqrt{13} \]
Проверка: \(\sqrt{13}\approx3{,}61\). Стороны \(3\), \(4\) и \(3{,}61\) удовлетворяют неравенству треугольника, значит ответ правдоподобен.
Принцип: если известны две стороны треугольника и угол между ними, третью сторону находят по теореме косинусов.
Обсуждение
3 сообщенияЭто продолжение: следующая задача из того же списка по теме «Решение треугольников».
Ответ:
\[
\angle A=30^\circ,\qquad \angle B=15^\circ.
\]
Решение:
По теореме синусов: \[ \frac{AB}{\sin C}=\frac{BC}{\sin A}. \]
Подставляем данные \(AB=3\sqrt2\), \(BC=3\), \(\angle C=135^\circ\): \[ \frac{3\sqrt2}{\sin135^\circ}=\frac{3}{\sin A}. \]
Так как \(\sin135^\circ=\frac{\sqrt2}{2}\), то \[ \frac{3\sqrt2}{\sqrt2/2}=6. \]
Значит, \[ 6=\frac{3}{\sin A} \quad\Rightarrow\quad \sin A=\frac12. \]
Отсюда \(\angle A=30^\circ\) или \(150^\circ\). Но угол \(C=135^\circ\), поэтому \(\angle A\) не может быть \(150^\circ\). Остаётся: \[ \angle A=30^\circ. \]
Тогда \[ \angle B=180^\circ-135^\circ-30^\circ=15^\circ. \]
Проверка: сумма углов \(135^\circ+30^\circ+15^\circ=180^\circ\); по теореме синусов \(AB/\sin135^\circ=6\) и \(BC/\sin30^\circ=6\). Всё сходится.
