Задача, поставленная еще в 1954 году, выражена следующим уравнением: x³ + y³ + z³ = k. K — каждое из чисел от 1 до 100. Требовалось найти x, y и z.

Кратко: это знаменитая задача о «сумме трёх кубов». Нужно находить целые \(x,y,z\) — они могут быть отрицательными и нулевыми. Для \(k=1,\ldots,100\) уравнение разрешимо не при всех \(k\): если \(k\) даёт остаток \(4\) или \(5\) при делении на \(9\), решений нет. Для всех остальных \(k\) из этого диапазона решения найдены; последними в 2019 году нашли случаи \(k=33\) и \(k=42\).

Почему \(k\equiv4,5\pmod 9\) невозможно.
Куб целого числа по модулю \(9\) может давать только \(0,1\) или \(8\) (то есть \(0,\pm1\)). Сумма трёх таких чисел может давать по модулю \(9\) только \[ 0,1,2,3,6,7,8, \] но не \(4,5\). Поэтому среди чисел \(1,\ldots,100\) заведомо невозможны \[ 4,5,13,14,22,23,31,32,40,41,49,50, 58,59,67,68,76,77,85,86,94,95. \]

Самые известные «трудные» решения: \[ 33=8\,866\,128\,975\,287\,528^3 +(-8\,778\,405\,442\,862\,239)^3 +(-2\,736\,111\,468\,807\,040)^3, \] \[ 42=(-80\,538\,738\,812\,075\,974)^3 +80\,435\,758\,145\,817\,515^3 +12\,602\,123\,297\,335\,631^3. \]

Это конкретные тройки, а не единственные: перестановки \(x,y,z\) и иногда другие тройки тоже дают решения.

Как рассуждать в похожих заданиях:

1. Уточнить, что \(x,y,z\) — целые.
2. Сначала проверить уравнение по модулю небольшого числа, например \(9\): так часто сразу видно, при каких \(k\) решений быть не может.
3. Для маленьких \(k\) искать вручную: например, \[ 1=1^3+0^3+0^3,\quad 2=1^3+1^3+0^3, \] \[ 3=1^3+1^3+1^3,\quad 6=2^3+(-1)^3+(-1)^3. \]
4. Найденную тройку обязательно проверить подстановкой.