169

Вот как оформить условие задачи по рисунку:

Дано:

• \(ABCD\) — четырёхугольник, \(AC\) — его диагональ;
• \(\angle DAC=\angle 1,\quad \angle BCA=\angle 2,\quad \angle DCA=\angle 3,\quad \angle BAC=\angle 4\);
• \(\angle 1=\angle 2,\quad \angle 3=\angle 4\);
• \(CB=6\) см, \(BA=8\) см.

Найти: \(AD\) и \(CD\).

Решение:

1. \(\angle DAC=\angle BCA\), так как \(\angle DAC=\angle 1\), \(\angle BCA=\angle 2\), а \(\angle 1=\angle 2\).
2. \(\angle DCA=\angle BAC\), так как \(\angle DCA=\angle 3\), \(\angle BAC=\angle 4\), а \(\angle 3=\angle 4\).
3. Сторона \(AC\) — общая для треугольников \(ADC\) и \(CBA\).
4. Значит, \(\triangle ADC=\triangle CBA\) по стороне и двум прилежащим углам.
5. В равных треугольниках соответствующие стороны равны: \[ AD=CB=6\text{ см},\qquad CD=BA=8\text{ см}. \]

Ответ: \(AD=6\) см, \(CD=8\) см.

Если на рисунке другие буквы или числа — пришли фото, поправлю оформление.

Дано: по рисунку 143 точка \(O\) лежит на \(AD\) и \(BC\);

\[ \angle BAO=\angle DCO,\qquad \angle BAC=\angle DCA. \]

Доказать: \(\triangle ABC=\triangle ACD\).

Доказательство:

1. Так как \(AO\) лежит на \(AD\), а \(CO\) — на \(CB\), то \[ \angle BAO=\angle BAD,\qquad \angle DCO=\angle DCB. \] По условию \(\angle BAO=\angle DCO\), значит, \[ \angle BAD=\angle DCB. \]

2. По рисунку луч \(AD\) лежит внутри \(\angle BAC\), поэтому \[ \angle BAC=\angle BAD+\angle DAC. \] Аналогично луч \(CB\) лежит внутри \(\angle DCA\), поэтому \[ \angle DCA=\angle DCB+\angle BCA. \]

3. По условию \(\angle BAC=\angle DCA\). Вычтем из этих равных углов равные части \(\angle BAD=\angle DCB\). Получим: \[ \angle DAC=\angle BCA. \]

4. В треугольниках \(ABC\) и \(ACD\): \[ \angle BAC=\angle DCA,\qquad \angle BCA=\angle DAC, \] а сторона \(AC\) у них общая.

Следовательно, треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам: \[ \triangle ABC=\triangle ACD. \]

Что и требовалось доказать.

Если ты про шаг
\[ \angle DCO=\angle DCB, \] то да, при условии, что \(O\) лежит на отрезке \(BC\) между \(B\) и \(C\). Тогда луч \(CO\) совпадает с лучом \(CB\), поэтому угол \(DCO\) — это тот же угол, что \(DCB\).

Только запись \(DCO=DO\) некорректна: угол нельзя приравнивать к отрезку. Если имел в виду другое равенство, напиши его полностью, например \(\angle DCO=\angle \ldots\)