Это задание из ОГЭ, объясни решение и проверь, нет ли проще решения
Кратко по видимым заданиям: №5 — 68, №6 — 10, №7 — 3, №353240 — 80°, №350957 — 5°.
№5 (369835)
Радиус описанной около квадрата окружности: \[ R=\frac{a\sqrt2}{2} \] Тогда \[ a=R\sqrt2=34\sqrt2\cdot\sqrt2=68. \] Можно и через диагональ: \(d=2R=68\sqrt2\), а сторона квадрата \(a=\frac d{\sqrt2}=68\).
Ответ: 68.
№6 (351051)
Центр описанной окружности лежит на стороне \(AB\), значит, \(AB\) — диаметр. Поэтому \[ AB=2R=26. \] Угол \(ACB\) опирается на диаметр, поэтому он прямой. В прямоугольном треугольнике \(ABC\): \[ AC^2=AB^2-BC^2=26^2-24^2=676-576=100, \] \[ AC=10. \]
Ответ: 10.
№7 (356399)
Радиус вписанной в квадрат окружности равен половине стороны: \[ r=\frac{6}{2}=3. \]
Ответ: 3.
№353240: угол \(ACB\)
Решение на скриншоте верное, но есть короче.
\(AC\) и \(BD\) — диаметры, значит, \(OA=OC\), \(OB=OD\). Углы \(\angle BOC\) и \(\angle AOD\) вертикальные, поэтому \[ \angle BOC=20^\circ. \] Треугольник \(BOC\) равнобедренный, так как \(OB=OC\). Тогда \[ \angle OCB=\frac{180^\circ-20^\circ}{2}=80^\circ. \] Точки \(A,O,C\) лежат на одной прямой, поэтому \[ \angle ACB=\angle OCB=80^\circ. \]
Ответ: 80°.
№350957: угол \(ABO\)
Решение на скриншоте тоже верное, но проще через четырёхугольник.
Пусть касательные пересекаются в точке \(C\). Радиусы \(OA\) и \(OB\) перпендикулярны касательным, поэтому \[ \angle OAC=\angle OBC=90^\circ. \] В четырёхугольнике \(AOBC\) сумма углов \(360^\circ\), а \(\angle ACB=10^\circ\). Значит, \[ \angle AOB=360^\circ-90^\circ-90^\circ-10^\circ=170^\circ. \] Треугольник \(AOB\) равнобедренный, \(OA=OB\), поэтому \[ \angle ABO=\frac{180^\circ-170^\circ}{2}=5^\circ. \]
Ответ: 5°.
Главные приёмы здесь: диаметр даёт прямой вписанный угол; радиус к касательной перпендикулярен ей; центральный и вписанный углы связаны через дугу; в квадрате диагональ равна \(a\sqrt2\), а диаметр вписанной окружности равен стороне.
