Это задание из ОГЭ, объясни решение и проверь, нет ли проще решения

Question 1

Задача Задача №3768955

А

Аноним

3 дня назад · публичный вопрос

А

Аноним 3 дня назад

Это задание из ОГЭ, объясни решение и проверь, нет ли проще решения

Answer

На скриншотах 7 заданий. Краткие ответы:

\(80^\circ\)
\(5^\circ\)
\(124^\circ\)
\(1444\)
\(68\)
\(10\)
\(3\)

1. Более простое решение, чем в официальном ответе

Официальное решение верное, но есть короче.

\(AC\) и \(BD\) — диаметры, значит \(A,O,C\) и \(B,O,D\) лежат на прямых. Углы \(AOD\) и \(BOC\) вертикальные, поэтому
\[ \angle BOC=\angle AOD=20^\circ. \]

В треугольнике \(BOC\) стороны \(OB\) и \(OC\) — радиусы, значит треугольник равнобедренный. Тогда углы при основании равны: \[ \angle BCO=\frac{180^\circ-20^\circ}{2}=80^\circ. \]

Точка \(O\) лежит на луче \(CA\), поэтому \(\angle ACB=\angle BCO=80^\circ\).

Проверка по официальному решению: \(\angle AOB=180^\circ-20^\circ=160^\circ\), а вписанный угол \(\angle ACB\) равен половине дуги: \(160^\circ:2=80^\circ\). Ответ совпадает. Мой способ короче: не нужно переходить к смежному углу и использовать теорему о вписанном угле.

2

Пусть касательные пересекаются в точке \(P\). Радиус перпендикулярен касательной: \[ \angle OAP=\angle OBP=90^\circ. \] Сумма углов четырёхугольника \(OAPB\): \[ \angle AOB=360^\circ-90^\circ-90^\circ-10^\circ=170^\circ. \] \(OA=OB\) — радиусы, поэтому треугольник \(AOB\) равнобедренный: \[ \angle ABO=\frac{180^\circ-170^\circ}{2}=5^\circ. \]

3

У вписанного четырёхугольника противоположные углы в сумме дают \(180^\circ\): \[ \angle A+\angle C=180^\circ, \] \[ \angle C=180^\circ-56^\circ=124^\circ. \]

4

У квадрата, описанного около окружности, сторона равна диаметру: \[ a=2r=2\cdot19=38. \] Площадь: \[ S=a^2=38^2=1444. \]

5

Диагональ квадрата равна диаметру описанной окружности: \[ d=2R=2\cdot34\sqrt2=68\sqrt2. \] А сторона квадрата: \[ a=\frac d{\sqrt2}=\frac{68\sqrt2}{\sqrt2}=68. \]

6

Центр описанной окружности лежит на стороне \(AB\), значит \(AB\) — диаметр. Угол, опирающийся на диаметр, прямой: \[ \angle ACB=90^\circ. \] \[ AB=2R=26. \] По теореме Пифагора: \[ AC=\sqrt{26^2-24^2}=\sqrt{676-576}=10. \] Проверка: \(10,24,26\) — это \(5,12,13\), умноженные на 2.

7

Диаметр вписанной в квадрат окружности равен стороне квадрата: \[ 2r=6,\qquad r=3. \]

Общий принцип: в таких задачах ОГЭ почти всегда работают радиусы, перпендикулярность радиуса и касательной, свойства вписанных углов, противоположные углы вписанного четырёхугольника и соотношения квадрата с его диагональю.

Question 2

Это задание из ОГЭ, объясни решение и проверь, нет ли проще решения

Answer

На скриншотах 7 заданий. Краткие ответы: 1. \(80^\circ\) 2. \(5^\circ\) 3. \(124^\circ\) 4. \(1444\) 5. \(68\) 6. \(10\) 7. \(3\) ### 1. Более простое решение, чем в официальном ответе Официальное решение верное, но есть короче. \(AC\) и \(BD\) — диаметры, значит \(A,O,C\) и \(B,O,D\) лежат на прямых. Углы \(AOD\) и \(BOC\) вертикальные, поэтому \[ \angle BOC=\angle AOD=20^\circ. \] В треугольнике \(BOC\) стороны \(OB\) и \(OC\) — радиусы, значит треугольник равнобедренный. Тогда углы при основании равны: \[ \angle BCO=\frac{180^\circ-20^\circ}{2}=80^\circ. \] Точка \(O\) лежит на луче \(CA\), поэтому \(\angle ACB=\angle BCO=80^\circ\). **Проверка по официальному решению:** \(\angle AOB=180^\circ-20^\circ=160^\circ\), а вписанный угол \(\angle ACB\) равен половине дуги: \(160^\circ:2=80^\circ\). Ответ совпадает. Мой способ короче: не нужно переходить к смежному углу и использовать теорему о вписанном угле. ### 2 Пусть касательные пересекаются в точке \(P\). Радиус перпендикулярен касательной: \[ \angle OAP=\angle OBP=90^\circ. \] Сумма углов четырёхугольника \(OAPB\): \[ \angle AOB=360^\circ-90^\circ-90^\circ-10^\circ=170^\circ. \] \(OA=OB\) — радиусы, поэтому треугольник \(AOB\) равнобедренный: \[ \angle ABO=\frac{180^\circ-170^\circ}{2}=5^\circ. \] ### 3 У вписанного четырёхугольника противоположные углы в сумме дают \(180^\circ\): \[ \angle A+\angle C=180^\circ, \] \[ \angle C=180^\circ-56^\circ=124^\circ. \] ### 4 У квадрата, описанного около окружности, сторона равна диаметру: \[ a=2r=2\cdot19=38. \] Площадь: \[ S=a^2=38^2=1444. \] ### 5 Диагональ квадрата равна диаметру описанной окружности: \[ d=2R=2\cdot34\sqrt2=68\sqrt2. \] А сторона квадрата: \[ a=\frac d{\sqrt2}=\frac{68\sqrt2}{\sqrt2}=68. \] ### 6 Центр описанной окружности лежит на стороне \(AB\), значит \(AB\) — диаметр. Угол, опирающийся на диаметр, прямой: \[ \angle ACB=90^\circ. \] \[ AB=2R=26. \] По теореме Пифагора: \[ AC=\sqrt{26^2-24^2}=\sqrt{676-576}=10. \] Проверка: \(10,24,26\) — это \(5,12,13\), умноженные на 2. ### 7 Диаметр вписанной в квадрат окружности равен стороне квадрата: \[ 2r=6,\qquad r=3. \] **Общий принцип:** в таких задачах ОГЭ почти всегда работают радиусы, перпендикулярность радиуса и касательной, свойства вписанных углов, противоположные углы вписанного четырёхугольника и соотношения квадрата с его диагональю.