Это задание из ОГЭ, объясни решение

Краткие ответы:

1. \(80^\circ\)
2. \(5^\circ\)
3. \(124^\circ\)
4. \(1444\)
5. \(68\)
6. \(10\)
7. \(3\)

Решения

1. \(BD\) — диаметр, поэтому лучи \(OB\) и \(OD\) противоположны. Значит,
   \[ \angle AOB=180^\circ-20^\circ=160^\circ. \]
   Это центральный угол на дугу \(AB\), а вписанный \(\angle ACB\) опирается на ту же дугу:
   \[ \angle ACB=\frac{160^\circ}{2}=80^\circ. \]

2. Пусть касательные пересекаются в точке \(P\). Радиусы \(OA\) и \(OB\) перпендикулярны касательным, поэтому в четырёхугольнике \(OAPB\):
   \[ \angle AOB=360^\circ-90^\circ-90^\circ-10^\circ=170^\circ. \]
   Треугольник \(AOB\) равнобедренный, \(OA=OB\). Тогда
   \[ \angle ABO=\frac{180^\circ-170^\circ}{2}=5^\circ. \]

3. В четырёхугольнике, вписанном в окружность, противоположные углы дают в сумме \(180^\circ\):
   \[ \angle C=180^\circ-\angle A=180^\circ-56^\circ=124^\circ. \]

4. Если окружность радиуса \(r=19\) вписана в квадрат, сторона квадрата
   \[ a=2r=38, \] а площадь
   \[ S=a^2=38^2=1444. \]

5. Для квадрата со стороной \(a\) радиус описанной окружности
   \[ R=\frac{a\sqrt2}{2}=\frac{a}{\sqrt2}. \]
   Отсюда
   \[ a=R\sqrt2=34\sqrt2\cdot\sqrt2=68. \]

6. Центр описанной окружности лежит на стороне \(AB\), значит, \(AB\) — диаметр, а угол \(C\) прямой. Тогда
   \[ AB=2R=26. \]
   По теореме Пифагора:
   \[ AC=\sqrt{26^2-24^2}=\sqrt{676-576}=10. \]
   Проверка: треугольник \(10,24,26\) прямоугольный, так как \(10^2+24^2=26^2\).

7. Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине стороны:
   \[ r=\frac{6}{2}=3. \]