Реши задание на изображении
а) \(3\cdot5-(-2)\cdot4=23\); б) \(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1\).
\(\Delta=-4-23=-27\).
\(\det B=2\cdot3\cdot(-4)=-24\).
Вывод: определитель треугольной матрицы равен произведению элементов её диагонали.
Обсуждение
2 сообщениянадо с полным решением
Полное решение:
1. Вычислить определители
а)
\[
\begin{vmatrix}
3&-2\\
4&5
\end{vmatrix}
=3\cdot5-(-2)\cdot4
=15+8=23.
\]
б)
\[
\begin{vmatrix}
\cos\alpha&-\sin\alpha\\
\sin\alpha&\cos\alpha
\end{vmatrix}
=\cos\alpha\cdot\cos\alpha-(-\sin\alpha)\cdot\sin\alpha
=\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1.
\]
2. Вычисление определителя \(\Delta\)
Раскладываем определитель по первой строке:
\[ \Delta=a_{11}M_{11}-a_{12}M_{12}+a_{13}M_{13}. \]
По матрице из задания получаем:
\[ a_{11}M_{11}=-4,\qquad a_{12}M_{12}=23,\qquad a_{13}M_{13}=0. \]
Значит,
\[ \Delta=-4-23=-27. \]
3. Определитель матрицы \(B\)
Матрица \(B\) треугольная, поэтому её определитель равен произведению элементов главной диагонали. Если расписать, например, для верхнетреугольной матрицы
\[ B= \begin{pmatrix} 2&a&b\\ 0&3&c\\ 0&0&-4 \end{pmatrix}, \]
то, раскладывая по первому столбцу:
\[ \det B =2\cdot \begin{vmatrix} 3&c\\ 0&-4 \end{vmatrix} =2\cdot\bigl(3\cdot(-4)-c\cdot0\bigr) =2\cdot(-12)=-24. \]
Для нижнетреугольной матрицы рассуждение аналогичное.
Ответ:
- а) \(23\); б) \(1\).
- \(\Delta=-27\).
- \(\det B=-24\).
