С полным решением
Кратко:
- а) \(23\); б) \(1\).
- \(\Delta=-27\).
- \(\det B=-24\); определитель треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали.
1. Определители 2-го порядка
Для матрицы \(\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\) определитель равен
\[
\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc.
\]
а)
\[
\begin{vmatrix}3&-2\\4&5\end{vmatrix}
=3\cdot 5-(-2)\cdot 4
=15+8=23.
\]
б)
\[
\begin{vmatrix}\cos\alpha&-\sin\alpha\\ \sin\alpha&\cos\alpha\end{vmatrix}
=\cos\alpha\cdot\cos\alpha-(-\sin\alpha)\cdot\sin\alpha
=\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1.
\]
Ответ: а) \(23\); б) \(1\).
2. Определитель 3-го порядка по правилу Саррюса
\[ \Delta= \begin{vmatrix} 1&2&3\\ 0&4&-1\\ 2&1&0 \end{vmatrix}. \]
По правилу треугольников: \[ \Delta= 1\cdot4\cdot0+2\cdot(-1)\cdot2+3\cdot0\cdot1 -\bigl(3\cdot4\cdot2+1\cdot(-1)\cdot1+2\cdot0\cdot0\bigr). \]
Считаем: \[ \Delta=(0-4+0)-(24-1+0) =-4-23=-27. \]
Проверка разложением по первой строке: \[ \Delta= 1(4\cdot0-(-1)\cdot1) -2(0\cdot0-(-1)\cdot2) +3(0\cdot1-4\cdot2) \] \[ =1-4-24=-27. \]
Ответ: \(\boxed{\Delta=-27}\).
3. Определитель верхнетреугольной матрицы
\[ B= \begin{pmatrix} 2&-1&5\\ 0&3&7\\ 0&0&-4 \end{pmatrix}. \]
У верхнетреугольной матрицы все элементы ниже главной диагонали равны нулю, поэтому её определитель равен произведению диагональных элементов: \[ \det B=2\cdot 3\cdot(-4)=-24. \]
Вывод: определитель треугольной матрицы — и верхней, и нижней — равен произведению элементов её главной диагонали.
Ответ: \(\boxed{\det B=-24}\).
