Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Краткий ответ

\[x^2-5x+6=0 \quad\Rightarrow\quad x_1=2,\; x_2=3\]

Как это получить

Способ 1. Теорема Виета (работает, когда коэффициент при \(x^2\) равен 1).

Для уравнения \(x^2+px+q=0\):

\[x_1+x_2=-p,\qquad x_1\cdot x_2=q\]

У нас \(p=-5\), \(q=6\), значит нужны два числа, у которых:

• сумма \(=5\),
• произведение \(=6\).

Подходят \(2\) и \(3\): \(\;2+3=5\), \(\;2\cdot 3=6\). Это и есть корни.

Способ 2. Через дискриминант (универсальный, годится для любого квадратного уравнения \(ax^2+bx+c=0\)).

\[D=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1>0\]

\(D>0\) — корней два:

\[x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{5\pm 1}{2}\] \[x_1=\frac{5-1}{2}=2,\qquad x_2=\frac{5+1}{2}=3\]

Способ 3. Разложение на множители. Если корни \(2\) и \(3\), то

\[x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\]

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель нулевой: \(x-2=0\) или \(x-3=0\).

Проверка

• \(x=2\): \(\;4-10+6=0\) ✔
• \(x=3\): \(\;9-15+6=0\) ✔

Принцип, который стоит запомнить

1. Приводишь уравнение к виду \(ax^2+bx+c=0\).
2. Если \(a=1\) и числа «красивые» — быстрее всего по Виету: ищешь два числа с суммой \(-b\) и произведением \(c\).
3. Если не подбирается — считаешь \(D=b^2-4ac\): \(D>0\) — два корня, \(D=0\) — один, \(D<0\) — корней нет.
4. Всегда полезно подставить корни обратно в уравнение.