|-3,5|=

Проверочная работа по теме «Модуль числа»

Уровень 1 — разминка

1. Вычисли: \[ |-9| + |3| - |-4| \]

2. Реши уравнение: \[ |x| = 6 \]

Уровень 2 — основной

3. Реши уравнение: \[ |x - 2| = 7 \]

4. Вычисли: \[ |-3| \cdot |-4| - |5| \]

Уровень 3 — посложнее

5. Реши уравнение: \[ |2x - 1| = 9 \]

6. Реши уравнение и объясни ответ словами: \[ |x| = -4 \]

Пришли свои ответы (можно фото или текстом) — проверю каждый номер, скажу, где ошибка, и разберу её. Если хочешь сверить сам сразу, скажи — дам ответы для самопроверки.

Задание начального уровня: «Что такое модуль»

Сначала образец, чтобы вспомнить принцип:

\[ |-7| = 7, \qquad |7| = 7, \qquad |0| = 0 \]

Модуль — это расстояние от числа до нуля, поэтому он всегда неотрицательный.

Теперь твоя очередь — реши самостоятельно:

1. Вычисли: \[ |8|, \quad |-5|, \quad |-1{,}2|, \quad |0| \]

2. Сравни, поставив знак \(<\), \(>\) или \(=\): \[ |-6| \; ? \; |6| \]

3. Реши уравнение: \[ |x| = 4 \]

4. Верно ли утверждение: «Модуль любого числа — число положительное»? Ответ объясни одним предложением.

Пришли ответы — проверю и разберу каждое задание. Если какой-то пункт вызовет затруднение, просто скажи, с какого начнём подробнее.

Задание 1 — всё верно! ✅

\[ |8|=8,\quad |-5|=5,\quad |-1{,}2|=1{,}2,\quad |0|=0 \]

Ты правильно понял главное: знак «минус» у числа отбрасывается, а у нуля модуль равен нулю.

Осталось три пункта — попробуй их тоже:

2. Сравни: \[ |-6| \; ? \; |6| \]

3. Реши уравнение: \[ |x| = 4 \]

4. Верно ли утверждение: «Модуль любого числа — число положительное»? Объясни одним предложением.

Подсказка к №3: у этого уравнения два ответа — подумай, какие числа находятся на расстоянии 4 от нуля.

Задание 2 — верно! ✅

\[ |-6| = |6| = 6 \]

Числа \(-6\) и \(6\) находятся на одинаковом расстоянии от нуля — по 6 единиц в разные стороны. Поэтому их модули равны.

Остались два пункта:

3. Реши уравнение: \[ |x| = 4 \] Подсказка: подходят два числа.

4. Верно ли утверждение: «Модуль любого числа — число положительное»? Объясни одним предложением. Подсказка: вспомни, чему равен \(|0|\).

Задание 3 — здесь ошибка, разберём.

Запись \(|x|\) — это не умножение на \(x\), а модуль числа \(x\). Поэтому \(4 \cdot x\) тут ни при чём.

Решаем по смыслу модуля: нужно найти все числа, расстояние от которых до нуля равно 4.

\[ |x| = 4 \quad\Rightarrow\quad x = 4 \ \text{или}\ x = -4 \]

Проверка: \[ |4| = 4,\qquad |-4| = 4 \]

Оба числа подходят, поэтому ответ: \[ x_1 = 4,\quad x_2 = -4 \]

Запомни: уравнение \(|x| = a\) при \(a > 0\) всегда имеет два корня: \(x = a\) и \(x = -a\).

Остался последний пункт:

4. Верно ли утверждение: «Модуль любого числа — число положительное»? Объясни одним предложением. Подсказка: посмотри, чему равен \(|0|\).

Объясню по шагам — тут дело в самой записи.

1. Что такое \(x\)?

\(x\) — это просто неизвестное число, которое нужно найти. Как пустое окошко: \(\square\). Мы пока не знаем, какое там число, поэтому обозначили его буквой \(x\).

2. Что такое \(|x|\)?

Вертикальные палочки — это знак модуля, а не умножение. Запись \(|x|\) читается «модуль икса» и означает: «возьми число \(x\) и отбрось у него минус, если он есть».

Сравни с уже знакомым:

\[ |-3| = 3 \]

Здесь вместо числа стояло \(-3\). А если число неизвестно, пишут \(|x|\) — то же самое действие, только с неизвестным числом.

3. Что значит решить \(|x| = 4\)?

Это значит: найти такое число \(x\), у которого модуль равен 4. То есть расстояние от \(x\) до нуля равно 4.

На числовой прямой от нуля откладываем 4 вправо и 4 влево:

\[ -4 \quad \longleftarrow\quad 0 \quad\longrightarrow\quad 4 \]

Получаем два числа: \(4\) и \(-4\).

4. Проверка подстановкой

Подставляем вместо \(x\) найденные числа:

\[ |4| = 4 \quad \text{— верно} \]

\[ |-4| = 4 \quad \text{— верно} \]

Значит, подходят оба: \(x = 4\) и \(x = -4\).

5. Почему нельзя было написать \(4x\)?

Потому что \(|x|\) — это не «умножить на \(x\)». Знак модуля не является множителем, его нельзя «вынести» или перемножить с числом. \(4x\) и \(|x|\) — совершенно разные записи:

\[ 4x = 4 \cdot x \quad \text{(умножение)} \]

\[ |x| \quad \text{(модуль числа } x\text{)} \]

Попробуй сам для закрепления: реши \(|x| = 3\). Подсказка: ищи два числа, расстояние от которых до нуля равно 3.

И не забудь последний пункт из задания:

4. Верно ли утверждение: «Модуль любого числа — число положительное»? Подсказка: чему равен \(|0|\)?

Задание 4 — здесь нужно поправить. Ты сам нашёл ключ: \(|0|=0\), и как раз поэтому утверждение неверно.

Почему:

Положительные числа — это числа больше нуля: \(1, 2, 3, \dots\) А ноль не больше нуля, он ему равен. Значит, ноль не положительное число.

Но \(|0| = 0\), а ноль — не положительное число. Значит, не у всякого числа модуль положительный.

Верная формулировка:

\[ |a| \geq 0 \]

Модуль любого числа — число неотрицательное (то есть больше нуля или равно нулю). Равенство нулю получается только в одном случае:

\[ |a| = 0 \iff a = 0 \]

Итог по заданию 4: утверждение неверно, контрпример — число \(0\): \(|0| = 0\), а ноль не является положительным.

Осталась одна небольшая проверка — задание, которое я дал для закрепления:

\[ |x| = 3 \]

Напиши, какие два числа подходят. Действуй так же, как с \(|x| = 4\).

Давай совсем медленно и по-простому. Забудем пока буквы и формулы.

1. Модуль — это просто «сколько шагов до нуля»

Представь числовую прямую как дорожку, а ноль — это твой дом:

\[ \ldots\ -4\ \ -3\ \ -2\ \ -1\ \ 0\ \ 1\ \ 2\ \ 3\ \ 4\ \ldots \]

Модуль числа отвечает на вопрос: сколько шагов от этого числа до нуля? Направление не важно — шаги считаем только в положительную сторону.

• Число \(-3\). От него до нуля: \(3\) шага. Значит \(|-3| = 3\).
• Число \(3\). От него до нуля тоже \(3\) шага. Значит \(|3| = 3\).
• Число \(0\). Оно уже в нуле, шагов нет. Значит \(|0| = 0\).

2. Теперь задание: \(|x| = 3\)

Читаем по-русски: «какое-то число \(x\) находится на расстоянии 3 шага от нуля».

Ищем на дорожке все числа, которые стоят в трёх шагах от нуля:

\[ -3 \ \longleftarrow\ 0\ \longrightarrow\ 3 \]

Справа — число \(3\). Слева — число \(-3\). Больше таких чисел нет.

Проверяем подстановкой:

\[ |3| = 3 \quad \text{верно} \]

\[ |-3| = 3 \quad \text{верно} \]

Оба подходят. Значит ответ: \(x = 3\) и \(x = -3\). Именно поэтому у таких уравнений два ответа: числа есть и справа, и слева от нуля.

3. И то же самое в одну строчку

\[ |x| = a \ \Rightarrow\ x = a \ \text{или}\ x = -a \]

Буква \(x\) — это просто «неизвестное число», пустое окошко, куда мы подставляем найденный ответ. Она не умножается ни на что.

Теперь проверь себя на самом простом: \(|x| = 5\) — назови два числа (справа и слева от нуля).

И скажи, что именно пока непонятно: что такое модуль или почему ответов два? Разберём именно это место.